간단한 시스템의 전기장 자기장 유도 직접 해보기

Overview

이미지를 잘 떠올리면 암산만으로 유도 가능하다.

이 노트는 쿨롱 법칙과 비오-사바르 법칙, 푸아송 방정식 풀이 없이 적절한 가우스 곡면 및 암페어 곡면 설정과 맥스웰 방정식만으로 유도할 수 있는 공식을 소개한다.

물리량 기호 정리

기호	의미
	전기장
	자기장
	전하량
	선전하 밀도
	면전하 밀도
	전류
	단위 길이당 감은 수
	총 감은 수
	거리 또는 반지름
	진공의 유전율
	진공의 투자율
	방사 방향 단위벡터
	법선 방향 단위벡터
	방위각 방향 단위벡터
	축 방향 단위벡터

전기장

점전하

쿨롱법칙하고 직결된다.

점전하 를 중심으로 하는 반지름 의 구면을 가우스 곡면으로 설정한다.

가우스 법칙:

대칭성에 의해 전기장은 방사 방향이고 크기가 일정하므로,
구껍질의 모든 영역에서 전기장의 세기는 로 일정하다.
그래서 좌변은 전기장의 세기구껍질의 면적

따라서:

왜 쿨롱 법칙에서 가 등장하는지 알 수 있는 부분이다.

대전된 막대

무한히 긴 선전하 밀도 인 막대를 생각한다.

막대를 중심축으로 하는 반지름 , 길이 의 원기둥 곡면을 가우스 곡면으로 설정한다.

대칭성에 의해 전기장은 방사 방향이라서, 원기둥의 윗면과 아랫면의 법선 벡터는 전기장과 수직이다. 따라서 원기둥의 옆면 면적만 고려한다.

따라서:

대전된 판

무한히 넓은 면전하 밀도 인 평면을 생각한다.

평면에 수직인 원기둥 곡면을 가우스 곡면으로 설정한다 (양쪽 끝면의 넓이 각각 ).

대칭성에 의해 전기장은 평면에 수직이고, 옆면에서는 기여가 없으므로:

따라서:

여기서 는 평면에 수직인 단위벡터.

캐패시터 사이

면전하 밀도 , 인 두 평행한 무한 평면이 있다.

각 판의 전기장을 중첩하면:

• 판 사이:
• 판 바깥:

따라서 캐패시터 사이의 전기장:

자기장

무한 직선 도선

전류 가 흐르는 무한히 긴 직선 도선을 생각한다.

도선을 중심으로 하는 반지름 의 원형 경로를 암페어 고리로 설정한다.

암페어 법칙:

대칭성에 의해 자기장은 원 접선 방향이고 크기가 일정하므로:

따라서:

여기서 는 원 접선 방향 단위벡터.

무한 솔레노이드

단위 길이당 감은 수 , 전류 가 흐르는 무한히 긴 솔레노이드를 생각한다.

솔레노이드 축에 평행하고 안쪽과 바깥쪽을 지나는 직사각형 경로를 암페어 고리로 설정한다 (길이 ).

대칭성과 무한 솔레노이드 조건에 의해:

• 바깥쪽 자기장 = 0
• 안쪽 자기장은 축 방향으로 균일

암페어 법칙을 적용하면:

따라서:

여기서 는 솔레노이드 축 방향 단위벡터.

촘촘한 토로이드

총 감은 수 , 전류 가 흐르는 토로이드를 생각한다.

토로이드 중심축으로부터 거리 인 원형 경로를 암페어 고리로 설정한다.

대칭성에 의해 자기장은 원 접선 방향이고:

토로이드 안쪽 (): 모든 전류를 감싸므로

토로이드 바깥쪽 및 중심 구멍: 감싸는 전류가 없으므로

여기서 는 원 접선 방향 단위벡터.

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