오늘의 핵심
교수님 물리의 이해 강의랑 비슷함.
대칭성에 대한 논의를 시작하기 전에 인트로를 강의하심.
그런데 인트로가 장장 2시간
눈여겨본 내용
통계역학은 정보를 다룬다. 모든 것은 입자가 아니었고, field도 아니었고, 정보였다.
정보는 곧 엔트로피로 기술된다.
외부 힘의 개입이 있는 게 아니라 내부 인자의 상호작용만으로 결맞음이 일어나는 것, 이것을 창발이라고 부르기로 했다.
뭉뚱그리기(coarse graining)이란
irrelevant information을 지워버리는 것이다. → Tong 교과서 공부하면서 보았던 irrelevant coupling이랑 연관되는 것 같다.
뭉뚱그리는 과정에서 잃어버리는 정보가 바로 엔트로피이다.
에너지 전달의 두 형태가 일과 열이라는 건 알고 있을 터, 둘의 차이가 무엇인가?
에너지는 각 상태
일을 한다는 것은
열을 준다는 것은
엔트로피의 단위를 bit로 하고,
온도의 단위를 J/bit으로 표현해야 한다는 파격적인 제안.
온도라는 것은 계의 정보 용량을 1bit 올리는데 필요한 에너지
내부 에너지가 U일 때, 고온에서는
우리가 알고 싶은 것은 극저온과 극고온의 사이이다. 그래서 양쪽 극단에서 근사하는 방법을 선택한다. 고온에서 근사하는 방법은 perturbation expansion이고, 저온에서 근사하는 것은 elementary excitation이다.
언제 마음껏 뭉뚱그리기를 해서 새로운 역학을 탐구해도 타당해 지는가?
창발 현상은 미시적 세부사항과 무관한 보편성에 있다. 이때, 상관없는 미시 사항이 irrelevant infromation인 것. 역시 RG flow와 연관된다. 이런 쓸모없는 변수가 있기 때문이다.
궁금한 내용
Berezinskii–Kosterlitz–Thouless transition(BKT transition)
홀로노미란 뭔가?
볼츠만의 H 정리가 뭔가?
fluctuation theorem의 또 다른 표현
perturbation expansion과 density expansion이 뭐죠?
고립계에서 평형 상태는 S가 최대이다. 등온계에서는 F가 최소이다. 등압 등온계에서는 G가 최소이다. 이러한 성질을 fluctuation theorem이 한번에 설명해 준다고 한다.
왜 미시 상호작용은 coarse graining 하여 거시 세계 상호작용에 대한 역학을 구할 때 요동-소산 정리가 중요한 것일까?
대칭성이 깨져도 잔류 대칭성이라는 게 남는다고 한다. 잔류 대칭성이란 뭘까?
AI의 보충 설명
1. Berezinskii–Kosterlitz–Thouless (BKT) Transition
BKT 전이는 2차원 계에서 나타나는 특별한 상전이로, 일반적인 대칭성 깨짐과는 다른 메커니즘을 갖는다. 2차원 XY 모델(평면 스핀 모델)에서 관찰되며, Mermin-Wagner 정리에 의해 2차원에서는 연속 대칭성이 자발적으로 깨질 수 없다는 제약 하에서도 일어난다.
핵심 메커니즘:
- 저온: 스핀들이 준장거리 질서(quasi-long-range order)를 가지며, 상관함수가 거듭제곱으로 감소
→ 왜 갑자기 power law가 생기는 것인가? - 고온: 완전히 무질서하며, 상관함수가 지수적으로 감소
- 전이: 보텍스-반보텍스 쌍의 해리(unbinding)로 설명됨. 저온에서는 쌍으로 묶여있던 보텍스들이 임계온도에서 분리되기 시작
물리적 실현: 초유체 헬륨 박막, 2차원 초전도체, 조세프슨 접합 배열 등에서 관찰된다.
2. 홀로노미(Holonomy)
홀로노미는 기하학적 위상(geometric phase)과 관련된 개념이다. 파라미터 공간에서 폐경로를 따라 순환했을 때, 물리계의 상태가 초기 상태로 돌아오지 않고 위상 변화를 겪는 현상을 기술한다. → 장의 비보존성과 연관되는 것 같다. 한번 폐경로에서 선적분해도 값이 0이 되지 않는 현상
통계역학적 맥락에서:
- 단열 과정에서 해밀토니안의 파라미터를 천천히 변화시켜 닫힌 경로를 만들 때
- 계의 상태가 Berry phase 같은 기하학적 위상을 축적
- 위상 전이와 연관: 질서 파라미터 공간의 위상적 성질을 반영
대칭성 논의와 연결: 잔류 대칭성을 통해 홀로노미가 보존될 수 있으며, 이는 위상 질서(topological order)의 특징이다.
3. 볼츠만의 H 정리
볼츠만의 H 정리는 비가역성의 미시적 기원을 설명하는 핵심 정리다.
H 함수의 정의:
여기서
정리의 내용:
- 볼츠만 방정식을 따르는 계에서
- 평형 상태에서
가 최소값을 가지며, 이는 맥스웰-볼츠만 분포에 대응 는 엔트로피 와 관계
역설적 측면: 시간 반전 대칭인 미시 역학에서 어떻게 비가역적인 거동이 나오는가? 이는 “분자 혼돈 가정(molecular chaos assumption, Stosszahlansatz)“이 시간 반전 대칭성을 깨뜨리기 때문이다.
4. Fluctuation Theorem과 평형 조건
강의에서 언급된 fluctuation theorem의 형태:
이는 비평형 열역학의 핵심 관계식으로, 엔트로피 생성의 요동을 기술한다.
평형 조건과의 연관:
- 고립계:
at equilibrium → 최대 - 등온계: Helmholtz 자유에너지
가 최소. - 등압등온계: Gibbs 자유에너지
가 최소.
이는 Jarzynski 등식과 유사한 형태다. 엔트로피 변화의 지수를 평균하면 1이 된다는 것은, 작은 확률로 일어나는 엔트로피 감소 사건(
평형에서 자유에너지가 최소라는 것을 fluctuation의 관점에서 재해석:
- 평형에서 벗어난 상태의 확률이 자유에너지 차이에 따라 지수적으로 억제됨
5. Perturbation Expansion과 Density Expansion
Perturbation Expansion (섭동 전개):
- 고온 근사에 사용
일 때, 상호작용 를 작은 섭동으로 취급 - 분배함수를
형태로 전개 - 자유 입자 해로부터 시작해 상호작용을 순차적으로 고려
Density Expansion (밀도 전개):
- 낮은 밀도에서 사용
- Virial expansion의 형태:
는 virial coefficients로, -body 상호작용을 반영 - 입자 간 상호작용이 약할 때 효과적
두 방법 모두 상호작용을 체계적으로 다루되, 서로 다른 극한(고온 vs 저밀도)에서 유효하다.
6. Coarse Graining과 Fluctuation-Dissipation Theorem
왜 fluctuation-dissipation theorem이 중요한가?
Coarse graining 과정에서:
- 미시적 자유도를 적분하여 거시적 변수만 남김
- 이 과정에서 빠른 자유도는 느린 자유도에 대한 “요동”과 “마찰”로 나타남
Fluctuation-dissipation theorem:
의미:
- 계의 요동(fluctuation) 크기와 외부 섭동에 대한 응답(dissipation)이 온도를 통해 연결됨
- Coarse grained 된 거시 변수의 운동방정식(예: Langevin equation)에서 요동력과 마찰계수가 독립적이지 않고, 이 정리로 연결됨
- 미시 상호작용의 세부사항을 몰라도, 평형 요동을 측정하여 비평형 응답을 예측 가능
창발 법칙의 타당성: 미시 세부사항이 coarse graining 되어도, 이 정리를 통해 거시 역학이 열역학 제2법칙과 일관성을 유지한다.
7. 잔류 대칭성 (Residual Symmetry)
대칭성이 자발적으로 깨질 때, 원래 대칭성의 일부가 남아있는 것을 잔류 대칭성이라 한다.
예시:
- 회전 대칭성 → 강자성: 3차원 회전 대칭
이 깨져 특정 방향으로 스핀이 정렬. 하지만 그 방향 축 주위의 회전 대칭 는 남음 - 병진 대칭성 → 결정: 연속 병진 대칭이 깨져 격자 구조 형성. 하지만 격자 벡터만큼의 이산 병진 대칭은 보존
- 게이지 대칭성: 초전도체에서
게이지 대칭성이 깨지지만, 위상적 성질은 남음
물리적 중요성:
- Goldstone mode(무질량 보손)의 개수는 깨진 대칭성 생성자의 개수와 관련
- 잔류 대칭성은 저에너지 들뜸의 성질을 결정
- 위상 질서를 이해하는 데 핵심적
Related Concepts
References
강의 ppt 링크를 이곳에