라그랑지안과 해밀토니안의 르장드르 변환 관계

기호 정리

기호	의미
	라그랑지안 (Lagrangian)
	해밀토니안 (Hamiltonian)
	일반화된 위치 좌표 (Generalized coordinate)
	일반화된 속도 (Generalized velocity)
	일반화된 운동량 (Generalized momentum)
	일반화된 힘 (Generalized force)
	운동 에너지 (Kinetic energy)
	퍼텐셜 에너지 (Potential energy)
	작용 (Action)
	변분 (Variation)
	시간 (Time)

Overview

라그랑지안 역학과 해밀토니안 역학은 동일한 물리 시스템을 서로 다른 변수 공간에서 기술하는 방법이다. 해밀토니안은 라그랑지안을 일반화된 속도 의 공간에서 그것의 기울기(gradient)인 일반화된 운동량 의 공간으로 르장드르 변환(Legendre transformation) 한 것이다. 이 변환은 열역학에서 내부에너지를 다른 열역학 함수로 변환하는 것과 정확히 같은 수학적 구조를 가진다.

Euler-Lagrange 방정식 유도

Hamilton의 변분 원리 (최소 작용 원리) → Euler-Lagrange equation 유도

우주에서 실제로 일어나는 올바른 시간 경로에서 작용 는 극값이다.
변분에 대한 기호로 를 이용한다.
작용 에서 식 유도를 시작한다. 은 다음과 같이 테일러 전개된다:

여기서 는 시간 에 대한 함수이므로, 이다.

부분 적분을 통한 유도

변분을 적분에 적용하면:

두 번째 항에 부분 적분을 적용:

경계 조건 에 의해 (이것의 이름이 dirichlet boundary condition 이라고 한다.)
첫 번째 항은 사라지고:

Euler-Lagrange 방정식

각 가 독립적이고 임의적이므로, 각 괄호 항이 개별적으로 0이어야 한다:

이것이 Euler-Lagrange 방정식이다.

일반화된 운동량과 일반화된 힘

일반화된 운동량 (Generalized Momentum)

정의:

일반화된 힘 (Generalized Force)

Euler-Lagrange 방정식으로부터:

즉, 오일러-라그랑주 방정식은 일반화된 힘을 라그랑지안의 일반화 위치에 대한 편미분으로 나타낸다.

르장드르 변환의 기하학적 의미

일반적인 르장드르 변환

함수 와 그 기울기 사이의 관계에서:

여기서 는 의 르장드르 변환이다.

이는 기울기 를 새로운 독립변수로 하는 함수로의 변환을 의미한다.

해밀토니안의 정의와 유도

라그랑지안의 전미분

라그랑지안 의 전미분:

Euler-Lagrange 방정식과 일반화된 운동량의 정의를 사용하면:

해밀토니안의 르장드르 변환

해밀토니안은 라그랑지안을 일반화된 속도 공간에서 일반화된 운동량 공간으로 르장드르 변환한 것:

기본 관계식

라그랑지안과 해밀토니안의 합:

여기서 는 운동에너지이다 (일반화 좌표가 선형 속도인 경우).

해밀토니안의 전미분과 Hamilton 방정식

해밀토니안의 전미분 유도

에서:

앞서 구한 을 대입:

정리하면:

Hamilton의 정준 방정식 (Canonical Equations)

해밀토니안을 의 함수로 보면:

위 두 식을 비교하면:

일반화된 속도 (Generalized Velocity):

일반화된 힘 (Generalized Force):

시간 편미분:

라그랑지안과 해밀토니안의 대응표 ⭐

이것이 핵심이다!

측면	라그랑지안 형식 ()	해밀토니안 형식 ()
정의
독립변수
일반화 운동량/속도	(정의)	(르장드르 변환)
일반화 힘	(Euler-Lagrange)	(Euler-Lagrange)
전미분
운동방정식		,

관계식

물리적 해석

변수 공간의 변환

• 라그랑지안: 위치-속도 공간 에서 시스템 기술
• 해밀토니안: 위치-운동량 공간 에서 시스템 기술 (위상 공간, Phase Space)

열역학과의 유사성

열역학 자연변수와 르장드르 변환과 정확히 같은 구조:

열역학	역학
내부에너지	라그랑지안
Helmholtz 자유에너지	해밀토니안
온도	일반화 운동량
엔트로피 ↔ 온도	일반화 속도 ↔ 일반화 운동량

Related Concepts

• Lagrangian_and_Generalized_Momentum
• Lagrangian Mechanics
• 열역학 자연변수와 르장드르 변환
• Poisson_Brackets
• Liouville’s Theorem

References

• Fowles & Cassiday, Analytical Mechanics, Chapter 10

손글씨 노트