AM final project - Background knowledge - Souriau Mechanics의 Symplectic framework

문제: AM Finalterm problem / 답안 모음: AM finalterm answer

Background knowledge: Souriau Mechanics의 Symplectic framework

이 섹션의 목적

레퍼런스 논문(Duval & Horváthy 2015)의 Appendix A는 일반적인 해밀턴 역학의 symplectic 기하학 표현을 제시한다. 이 표현이 없으면 논문 전체의 언어를 이해할 수 없으며, 특히 2번 문제의 sympletic 2-form 유도는 이 framework 위에서 이루어진다. 아래는 그 공백을 직접 채운 유도이다.

설정: General Lagrangian

Phase space 좌표 를 통합해서 다음 형태의 Lagrangian을 고려한다:

는 에만 의존하는 함수이고, 는 Hamiltonian이다.
는 phase space Lagrangian에서 에 해당하는 항의 일반화이다. 르장드르 변환이 이미 완료된 phase space 위에서, 는 canonical 1-form 를 일반화한 것이다.
Berry term 가 있는 경우, 이 되어 momentum space 방향으로도 연결(connection)이 생기며, 이것이 Berry connection의 기하학적 의미이다.

Step A: Euler-Lagrange 방정식 유도

Lagrangian의 편미분을 계산한다. 라고 표기.

Euler-Lagrange equation에 대입한다. 를 chain rule로 전개하면:

따라서 Euler-Lagrange equation은:

논문 속 식 (A1)을 이렇게 유도했다.

Step B: Symplectic 2-form 정의

위 방정식의 계수 행렬을 로 이름 붙인다:

이므로 antisymmetric하다. 이를 이용해서 phase space 위의 sympletic 2-form을 정의하면:

이로서 일반적인 라그랑지안으로부터 그에 상응하는 sympletic 2-form을 구하는 방법을 알아냈다.

Step C: Evolution space와 정의

Phase space에 시간 를 한 차원 더 붙여 evolution space 를 만든다. 이 위에서 다음 two-form을 정의한다:

Step D: 이 EOM임을 증명

Evolution space의 좌표 에서 trajectory일 때,
논문에서는 아래 식을 EMO이라고 둔다.

이것이 EMO임을 증명해 보자. Trajectory의 tangential vertor는 는:

시간 가 매개변수이므로 이다. 임의의 벡터 에 대해 , 로 정의하면, wedge product의 정의로부터:

대입하면:

의 반대칭성을 이용해 첫 항을 정리한다:

따라서:

이것이 임의의 에 대해 0이 되려면 와 의 계수가 각각 0이어야 한다:

첫 번째 조건: . 를 이용해 부호를 바꾸고 인덱스를 로 rename하면:

이것이 Hamilton 방정식이며, 식 (A1-1)과 같다.

두 번째 조건: — 에너지 보존이다. 이 조건은 사실 독립적이지 않다. 첫 번째 EOM 양변에 를 곱하면:

좌변은 의 반대칭성에 의해 자동으로 0이므로, 에너지 보존 은 EOM으로부터 자동으로 따라온다.

핵심 등가 관계

이 세 가지 표현은 모두 동치이며, 논문 Appendix A의 핵심이다. 1번 문제는 이 프레임워크를 chiral fermion action에 적용한 것이다.

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