AM final project - Problem 2

문제: AM Finalterm problem / 답안 모음: AM finalterm answer

Problem 2

Revisit this problem based on the symplectic geometry perspectives. Can you find the corresponding symplectic two-form and the symplectic vector field? Let me give you the answer.

(Question)

• Clarify the symplectic structure. Show that this symplectic two-form is non-degenerate, i.e., given by .

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Step 1: Lagrangian의 일반식과 비교

액션을 통해 정의된 라그랑지안을 다시 보면,

식 (L)에서 제시한 Lagrangian의 일반식과 비교하여 와 를 찾는다.

논문에서 제시한 것과 같은 해밀토니안이 나왔다.

Step 2: Symplectic 2-form

와 , 그리고 앞서 살펴본 symplectic matrix 를 구하는 식 과 symplectic 2-form의 일반식 를 이용해서 symplectic 2-form을 구한다.

좌표 에서 를 블록별로 계산한다.

블록 (1) — - 블록:

양변에 를 곱하는 방식으로 를 역으로 풀면:

(cyclic)이므로:

따라서:

블록 (2) — - 블록:

의 정의로부터 이므로:

여기서 논문에서 spin enslaving이라고 표현하는 스핀과 모멘텀의 관계식, 를 적용한다. Spin 인 chiral 입자의 Berry curvature는:

이는 로, -공간에서의 magnetic monopole이다. 대입하면:

블록 (3) — - 블록:

는 에만, 는 에만 의존하므로 교차 미분은 0:

따라서 .

2-form으로 조립

각 블록의 기여를 합산하면:

인덱스를 올리고 순서를 재배열하면 ():

이를 논문 표기로 분해하면:

문제에서 제시한 형태와 정확히 일치한다. ✓

• 첫 항 : 표준 canonical symplectic form
• 둘째 항 : -공간의 magnetic monopole (Berry 곡률), spin enslaving 에 의해 계수가
• 셋째 항 : 실공간 자기장에서 오는 보정

Symplectic 행렬 의 명시적 표현

좌표 순서 에서 블록별 계산 결과를 행렬로 쓰면:

블록으로 쓰면:

Non-degeneracy:

Pfaffian — 정의 및 공식

반대칭 행렬의 determinant는 Pfaffian을 이용해 계산할 수 있다.

반대칭 행렬 A의 Pfaffian은 다음과 같이 정의된다:

이때 는 순열 의 순열들의 집합니다.
중복을 제거하면 완전 매칭(perfect matching) 전개로 쓸 수 있다. 지표 집합 의 완전 매칭이란 전체를 개의 쌍으로 나누는 방법이며, 총 가지가 존재한다:

여기서 부호 는 매칭 를 표준 순서 로 정렬했을 때의 순열의 부호이다.

구체적으로, 매칭 에 대해 각 쌍 내부는 , 쌍들 사이는 가 오름차순이 되도록 이 되도록 정렬하면 순열 을 얻는다. 이때 이다.
예를 들어 매칭 은 이미 표준 순서이므로 순열 에 해당한다. 순열 를 로 되돌리는데 필요한 inversion을 세면 으로 총 3개이므로 이다.

지금 determinant를 구하는 같이 matrix의 경우, 이며, 매칭은 가지이다.

조건을 만족하는 중 non-zero element는:

15개 완전 매칭 중 모든 쌍이 영이 아닌 것만 살아남는다:

매칭	부호	기여

합산하면:

따라서:

인 한 이므로, symplectic 2-form은 non-degenerate하다.
1번 문제의 EOM에서 등장한 effective mass 이 여기서 위상공간 부피 측도의 보정 인자로 재등장하는 것은 우연이 아니다.

Step 3: Hamiltonian vector field

는 성분으로 쓰면 이다. 즉 (2.3)의 행렬 방정식:

이므로 우변은:

위쪽 블록 ( 방향):

아래쪽 블록 ( 방향):

식 (I), (II)는 Problem 1의 EL 방정식과 완전히 동일하다. 따라서 연립해서 풀면 동일한 결과:

의 적분 곡선(integral curve)이 바로 chiral fermion의 운동 궤적이다.

이 보장되므로 는 유일하게 정의된다. Problem 1에서 EOM의 분모로 등장했던 이, symplectic 구조의 non-degeneracy 조건으로부터 자연스럽게 재등장하는 것이다.

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