스라소니 머릿속에는

Journal reading - Time-Reversal and Entropy

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Time-Reversal and Entropy

Overview

Christian Maes and Karel Netočný (2003)의 비평형 통계역학 논문. 엔트로피 생성(entropy production)을 경로공간 측도(path space measure)에서 시간역전 대칭성을 깨는 원천항(source term)으로 정의하는 일반적인 framework를 제시한다. 닫힌 계와 열린 계 모두에서, 과도 상태와 정상 상태 모두에서 적용 가능한 통일된 접근법.

주요 내용 요약

Section 3: Mathematical Framework

3.1 Dynamics and Time-Reversal

  • Hamiltonian dynamics: (시간 만큼 evolution)
  • Time-reversal: (운동량 부호 반전)
  • Dynamical reversibility:
  • 확률 계산: 초기 거시상태 에서 시작해서 시간 후 영역 에 도달할 확률
    • 분자: 로 가는 내 미시상태들의 위상공간 부피
    • 분모: 의 전체 위상공간 부피

3.2 Reduced Variables (거시변수)

  • Phase space 를 partition 로 나눔
  • 각 partition element 는 같은 거시상태를 가진 미시상태들의 집합 (phase cell)
  • Map 는 미시상태를 거시상태로 매핑하는 함수
  • 는 두 가지 의미: (1) 함수로서 거시상태, (2) 집합으로서 가 속한 phase cell
  • ==Projection 연산: 미시 확률분포 를 거시 확률분포로 변환==, 적분을 하면 됨

3.3 Distributions (확률 분포)

  • 정확한 미시상태는 접근 불가능 → 확률이 필요
  • Microcanonical ensemble: 자연스러운 선택
  • 거시상태 확률 분포 이용해서 미시 확률 분포를 만든 것이다다
    • : reduced state의 확률 분포
    • : phase cell의 부피 (Liouville 측도)
    • "같은 거시상태 내의 모든 미시상태는 동등하게 그럴듯하다"
  • 두 가지 조건 만족:
    1. (거시상태 확률 보존)
    2. (phase cell 내부 균등 분포)

3.4 Entropies (엔트로피들)

  • Shannon entropy:
  • Boltzmann entropy: (phase cell의 크기의 로그)
  • Gibbs entropy:
    • Gibbs variational principle에 의해 microcanonical ensemble이 최대 엔트로피
    • 자세한 내용: Gibbs Entropy

핵심 수식 (3.5): Shannon-Boltzmann 분해

Section 4: Entropy Production in Closed Systems

엔트로피 생성의 정의

  • 엔트로피 생성률 = (전체) 엔트로피의 시간당 변화
  • Transient regime: 비평형 상태에서 평형으로 완화되는 과정

핵심 수식 (4.1): 미시 궤적 수준의 시간역전 비대칭

식의 의미:

  • 좌변: 미시 궤적 의 확률 vs 시간역전 궤적 의 확률의 비
  • 우변: Boltzmann 엔트로피의 변화
  • 엔트로피가 증가하면 정방향 궤적이 역방향보다 지수적으로 더 그럴듯함

왜 이렇게 되는가?

  1. 초기 거시상태 가 주어졌을 때, 특정 미시 궤적의 확률은 초기 미시상태의 확률에만 의존
  2. Microcanonical ensemble: 초기 미시상태 확률 =
  3. 시간역전 궤적의 확률 =
  4. 따라서 비율의 로그 = Boltzmann 엔트로피 변화

물리적 직관:

  • 처음: 기체가 방 왼쪽에만 (, 작은 phase cell)
  • 나중: 방 전체에 퍼짐 (, 큰 phase cell)
  • 정방향 (퍼지는 과정): 매우 그럴듯함
  • 역방향 (저절로 모이는 과정): 거의 불가능함

한계와 극복:

  • 문제: 실제로는 미시 궤적을 관측 불가능
  • 해결: 거시상태 궤적 로 lifting
  • “추가 불확실성”에 대한 대가를 지불해야 함 → Proposition 4.1

Proposition 4.1 (거시 궤적 수준)
초기 분포 에서 시작한 거시 궤적의 엔트로피 생성:

기댓값:

  • Gibbs 엔트로피 생성 = 경로 확률 비율의 평균
  • 항상 non-negative (Jensen 부등식)

Main Results Summary

  • 핵심 아이디어: 엔트로피 생성 = 경로와 시간역전된 경로의 확률 측도 비율의 로그
  • Closed Systems (Section 4): 미시→거시 수준으로 lifting, Gibbs 엔트로피 생성
  • Open Systems (Section 5): 열원(heat bath)과 연결된 계에서 엔트로피 생성 = 계의 엔트로피 변화 + 열류/온도
  • Markov Approximation (Section 6): Repeated randomization을 통한 마르코프 근사
  • Phase Space Contraction (Section 8): Thermostated dynamics에서 위상공간 수축과 엔트로피 생성의 관계

Questions & Insights

Section 3에서의 깨달음:

  • 나의 직관과 측도론: Microcanonical ensemble에서 “각 상태에 존재 크기를 부여하는 함수”라는 내 생각이 측도론의 본질과 일치한다는 걸 깨달음
  • 의 이중적 의미: 함수로서의 거시상태와 집합으로서의 phase cell이라는 두 관점을 동시에 이해하는 것이 중요
  • Randomization : 이것은 실제 물리적 과정이 아니라 우리의 무지(ignorance)를 표현하는 수학적 도구
  • 왜 균등분포가 자연스러운가?: Information theory 관점에서 주어진 제약(거시상태) 하에서 최대 엔트로피 → Microcanonical ensemble

Section 4에서의 핵심 깨달음: 조건부 확률의 마법

Q: 조건 없이 비교하면?
만약 초기 거시상태 조건 없이 그냥 “어떤 미시 궤적의 확률”과 “그 역방향 미시 궤적의 확률”을 비교하면:

왜 1인가?

  • Dynamical reversibility (): 모든 정방향 궤적 ↔ 역방향 궤적이 일대일 대응
  • Liouville’s theorem (): 위상공간 부피 보존
  • 결과: 정방향과 역방향 궤적의 확률이 정확히 같음

미시적으로는 완전히 가역적이다!

그런데 거시상태 조건을 주면:

왜 차이가 생기는가?

  • 조건 없을 때: 전체 위상공간에서 균등하게 시작 → 완전 대칭
  • 조건부: 특정 phase cell 에서만 시작
  • (일반적으로) → 비대칭 발생!

비가역성의 본질:

“비가역성은 미시 dynamics의 성질이 아니다!
비가역성은 거시상태 제약 때문에 생긴다.”

  • 미시적: 시간역전 대칭
  • 하지만 우리는 거시상태만 관측/제어 가능
  • 거시상태 제약 하에서 비대칭성 등장
  • 이것이 열역학 제2법칙의 기원!

예시: 기체 확산

  • 조건 없이: “임의의 미시상태 → A로” vs “임의의 미시상태 → B로” = 확률 같음 (1:1 대응)
  • 조건부: “왼쪽에 모임() → 퍼짐” vs “퍼짐() → 왼쪽에 모임” = 확률 매우 다름!

철학적 함의:
조건부 확률이 모든 마법의 원천. Maxwell’s demon 역설의 해답도 여기에 있다.

Appendix A에서의 깊은 깨달음: 시간의 화살과 우주의 초기조건

핵심 문장 (p.299):

“We can then expect, both for the forward evolution and for the backward evolution (positive or negative times) that the Boltzmann entropy should increase.”

이 문장이 내게 새롭게 다가온 이유:

순수 통계만으로는 양방향 모두 엔트로피 증가!

논리:

  1. 큰 거시상태(평형)가 통계적으로 압도적으로 많은 미시상태 포함
  2. “무작위로 미시상태를 뽑으면” 큰 phase cell에 속할 확률 높음
  3. 시간 진화 = 위상공간을 탐색 = “무작위로 뽑는 것과 유사”
  4. 미시 dynamics는 시간역전 대칭 → 정방향이든 역방향이든 동일한 논리
  5. 결과: 양방향 모두 엔트로피 증가 예상

Loschmidt’s paradox (로슈미트 역설):

  • 미시 법칙은 시간역전 대칭
  • 그런데 왜 엔트로피는 한 방향으로만 증가?
  • 답: 순수 통계만으로는 방향 못 정함!

시간의 화살 (Arrow of Time)의 기원:

세 단계 분석:

  1. 미시 법칙 (Newton, Schrödinger): 시간역전 대칭 → 방향 없음
  2. 통계 법칙 (열역학 제2법칙): 순수 통계는 양방향 증가 예측 → 여전히 방향 없음!
  3. 우주론적 조건 (빅뱅): 극도로 낮은 엔트로피 초기조건 → 방향 등장!

내 생각:

“우리 우주는 빅뱅이라는 정말 낮은 엔트로피 상태에서 시작했기 때문에 시간의 흐름이라는 게 생길 수 있다”

이것이 정확한 현대 물리학의 견해다!

구체적으로:

  • 만약 우주가 이미 평형이었다면: 엔트로피 최대, 요동만, 과거/미래 구분 불가, 시간 방향 없음
  • 빅뱅 때문에: 과거=특수(낮은 S), 현재=중간, 미래=평형(높은 S) → 명확한 화살!

예시: 기체 확산의 역설

  • 정방향 (미래): 왼쪽에만 → 퍼짐 (엔트로피 증가)
  • 역방향 (과거): 왼쪽에만 → 도 퍼져있었을 확률 높음! (역방향도 증가?)
  • 해결: “왼쪽에만”은 특수한 준비 상태. 실제 우주는 과거에 더 특수했음(빅뱅)

시간의 방향들 (모두 같은 방향!):

  1. 열역학적 화살: 엔트로피 증가 방향
  2. 심리학적 화살: 기억하는 방향 (과거), 예측하는 방향 (미래)
  3. 우주론적 화살: 우주 팽창, 빅뱅에서 멀어지는 방향

깊은 질문 (Roger Penrose):

“왜 빅뱅은 낮은 엔트로피였을까?”
→ 아직 완전한 답 없음. 양자 중력 이론 필요.

통합적 이해:

  1. Coarse-graining → 비가역성 (결국 비가역성은 우리가 시스템을 뭉뚱그려볼 때만 생김)
  2. 특수한 초기조건 (빅뱅) → 방향성
  3. 둘의 결합 → 시간의 화살

Carlo Rovelli의 관점:

“시간의 흐름은 근본적 실재가 아니라, 우리가 우주의 일부만 보기 때문에 생기는 현상”

  • 전지전능한 관점 (Block Universe): 시간 방향 없음
  • 제한된 관점 (우리): 시간이 흐르는 것처럼 보임
  • 또다시 coarse-graining의 결과!

최종 통찰:
통계역학 → 우주론 → 의식의 본질까지 연결되는 깊은 구조.
우리의 존재 자체가 우주의 특수한 초기조건의 증거!

여전히 남은 질문들:

  • Assumption A1과 A2가 실제로 언제 성립하는가? 특히 A2의 타당성
  • 왜 “second law conditions”에서만 Gibbs entropy production = Boltzmann entropy production인가?
  • Markov approximation의 정당화: mixing condition이 구체적으로 무엇을 의미하는가?

이 논문을 이해하기 위해 필요한 개념들:

다음 문장이 무슨 의미일까?
The dynamics is reversible in the sense that where the time-reversal on W is the involution that changes the sign of the momenta.
Involution and Dynamical Reversibility

Section 3 핵심 개념: 세 가지 엔트로피

Section 3.9: Kolmogorov-Sinai Entropy

더 읽어보고 싶은 레퍼런스

  • 왜 엔트로피는 증가하는가? microscopic하게 설명. J. Bricmont, Bayes, Boltzmann and Bohm: Probability in physics, in Chance in Physics, Foundations and Perspectives, J. Bricmont, D. Dürr, M. C. Galavotti, G. Ghirardi, F. Petruccione, and N. Zanghi, eds. (Springer-Verlag, 2002). → 이거 교과서인걸요?
  • …

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