강의 필기
이것은 Statistical Mechanics강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
SM lecture note - Kinetic Theory and Boltzmann’s H-theorem
오늘의 핵심
정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.
필기 내용
Ensemble theory
Voxel in phase space
Phase space에서 voxel → 부피의 최소 단위, 구분 가능한 상태 범위의 단위, 해상도.
Energy hypersurface
Energy hypersurface: 에너지가 같은 상태들이 이루는 surface.
그림 (필기 원본 1쪽)
phase space에서 같은 를 가지는 상태들이 구면 같은 hypersurface를 이루고, 그 바깥에 두께 의 얇은 껍질이 있다.
이것의 크기:
Number of microstates
특정 상태변수 값
(
중요 과제
Ideal gas의
를 구하라!
를 구한다 → 를 구한다.
궁금한 내용
AI의 보충 설명
필기 원본과 비교해 짚어둘 부분. 과제 풀이는 적지 않았다.
1.
- 에너지
와 사이 껍질의 두께는 어디서나 가 아니라 이다. ( : phase space의 gradient) - 따라서 “늘어난 부피 = 표면적 ·
“는 가 상수일 때만 맞고, 일반적으로는
- 결론
는 그대로 맞다. 다만 의 정의를 가 아니라 이 식으로 보는 게 정확하다.
2. "
- 숫자
과 에너지 는 단위가 달라 직접 비교할 수 없다. 또 를 지우면 은 무차원이 아니게 된다 (단위: 1/energy). - 실제 근거는 entropy에서 나온다.
- 첫 항은
에 비례하는 크기이지만, 는 과 무관한 항이라 thermodynamic limit에서 무시된다. 같은 이유로 를 (껍질 대신 전체 부피)으로 세어도 는 leading order에서 같다. 판서의 " " 메모는 아마 이 차원 의 크기에 관한 이야기였을 것이다.
3. Voxel 크기
- 불확정성 관계는
이고, 정확히 가 나오지는 않는다. 는 상자 속 입자의 양자 상태 수를 세서 classical phase-space 부피와 맞추면 나오는 값이다 (semiclassical limit에서 상태 하나당 의 부피). - 불확정성은 “왜 최소 단위가 존재하는가”에 대한 직관으로 보면 된다.
4. 과제 힌트 (풀이 아님)
- Ideal gas에서
는 차원 구의 부피 문제가 된다. - 동종 입자를 구분하지 않으려면
을 붙여야 가 extensive해진다 (Gibbs paradox). 이걸 빼먹으면 Sackur–Tetrode 식이 안 나온다.
연관 학습 노트
- microcanonical ensemble의 entropy
- 2025-09-05_Entropy_Misconception_Volume_vs_Microstates
- Gibbs Entropy
- Liouville’s Theorem
References
강의 ppt 링크를 이곳에