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Vector Transformation Properties

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Vector Transformation Properties

Overview

벡터의 엄밀한 정의는 “크기와 방향을 가진 양”이 아니라 좌표 변환에 대한 변환 성질로 주어진다. Displacement vector(변위 벡터)가 변환되는 규칙과 동일하게 변환되는 양을 벡터라고 정의한다.

  • Polar vector: 기저 변환 시 로 변환되도록 정의된 양
  • Pseudo vector (axial vector) : 기저 변환 시 로 변환되도록 정의된 양

Pseudo vector인지 아닌지 확인하는 가장 쉬운 방법은 이것의 방향을 정의하는데 오른손 법칙같은 convention 이 필요한지이다.

Symbol Table

SymbolMeaning
원래 좌표계에서의 벡터 성분
변환된 좌표계에서의 벡터 성분
좌표 변환 행렬
Displacement vector (위치 벡터)
Determinant of A

Displacement Vector as Prototype

Boas의 정의 방식:

Displacement vector(변위 벡터) 는 공간상의 한 점에서 다른 점으로의 변위를 나타낸다. 좌표계를 변환 행렬 로 회전 또는 반사시킬 때, displacement vector는 다음과 같이 변환된다:

Vector의 일반적 정의:

어떤 양 가 벡터이려면, displacement vector와 완전히 동일한 변환 규칙을 따라야 한다:

이것이 벡터의 엄밀한 정의다. “크기와 방향을 가진다”는 직관적 설명은 불충분하며, 변환 성질로만 벡터를 정의할 수 있다.

Meaning of Primed Coordinates

V’이 의미하는 것:

은 “변환된 기저(basis)에 대해 같은 물리적 대상을 표현한 성분”이다.

중요: 변환 규칙이 벡터를 정의한다

단순히 “변환된 좌표계에서의 성분”이라는 설명만으로는 불충분하다. 왜냐하면:

  • Polar vector: 기저 변환 시 로 변환되도록 정의된 양
  • Pseudo vector (axial vector) : 기저 변환 시 로 변환되도록 정의된 양

둘 다 “변환된 좌표계에서의 성분”을 나타내지만, 변환 법칙 자체가 다르다. 이 변환 법칙이 바로 벡터의 종류를 결정하는 본질적 정의다.

구체적 예시 - Polar vector:

원래 좌표계에서 속도 벡터가 m/s라고 하자. 이제 좌표계를 z축 중심으로 90도 회전시키면:

해석:

  • 물리적 벡터 자체(물체의 실제 운동)는 변하지 않았다
  • 단지 기저벡터들이 회전했을 뿐이다
  • 새로운 기저로 표현하면 같은 속도가 m/s로 나타난다
  • 속도는 규칙을 따르므로 polar vector다

구체적 예시 - Pseudovector:

각운동량 를 xy 평면에 대해 반사시키면 ():

각운동량은 규칙을 따르므로 pseudo vector다.

핵심 정리:

구분기저 표현변환 법칙의미
-원래 기저에서의 성분
(polar)변환된 기저에서의 성분
(pseudo)변환된 기저에서의 성분 (추가 부호)

같은 물리적 대상을 다른 기저로 표현하지만, 어떤 변환 규칙을 따르는가가 그 양이 무엇인지를 정의한다.

Tensor Hierarchy

물리량은 변환 성질에 따라 계층적으로 분류된다:

0차 텐서 (Scalar):
좌표 변환에 불변한다.

예시: 온도, 질량, 에너지

1차 텐서 (Vector):
선형 변환 규칙을 따른다.

예시: 위치, 속도, 힘, 전기장

2차 텐서:
두 개의 인덱스를 갖는다.

예시: 관성 텐서, 응력 텐서, 전자기장 텐서

n차 텐서:
n개의 인덱스를 갖는다.

Polar vs Axial Vectors

Polar Vector (True Vector):
모든 orthogonal 변환에 대해 식 (2)를 만족한다.

  • Rotation (): ✓
  • Reflection (): ✓

예시: 위치 , 속도 , 힘 , 전기장

Axial Vector (Pseudo vector):
Reflection에서 추가 부호 변화가 생긴다.

  • Rotation (): ✓
  • Reflection ():

예시: 각운동량 , 토크 , 자기장

왜 이런 차이가 생기나:

Axial vector는 두 polar vector의 외적으로 정의된다:

외적의 변환 성질:

Reflection일 때 이므로 추가 음의 부호가 붙는다. 이는 외적이 오른손 법칙으로 정의되기 때문이며, 좌표계가 왼손 좌표계로 바뀌면 방향이 한 번 더 뒤집힌다.

엄밀한 분류:

Axial vector는 사실 antisymmetric 2nd-rank tensor다. 3차원에서는 우연히 3개의 독립 성분을 가져서 벡터처럼 보일 뿐이다.

How to Identify Vectors

어떤 양이 벡터인지 판별하는 방법:

1) 좌표 변환 성질 확인

  • Rotation 시: 를 만족하는가?
  • Reflection 시: 를 만족하는가? (polar)
  • 혹은 를 만족하는가? (axial)

2) 정의 방식 확인

  • Displacement vector와 같은 방식으로 정의되는가?
  • 외적으로 정의되는가? → pseudovector

3) 물리적 의미 확인

  • 크기와 방향을 갖는가? (필요조건, 충분조건 아님)
  • 좌표계 독립적인 물리적 의미를 갖는가?

Examples

Velocity는 vector인가?

Displacement vector 의 미분이므로:

따라서 velocity는 polar vector다. ✓

Angular momentum은 vector인가?

외적으로 정의되므로 pseudovector다. Reflection 시:

추가 음의 부호가 붙는다.

Temperature는 vector인가?

온도 는 좌표 변환에 불변이다:

따라서 scalar (0차 텐서)다.

Questions & Insights

  • 4차원 시공간에서는 어떻게 확장되는가? (Four-vector)
  • Pseudotensor는 무엇인가?
  • 외적이 3차원에서만 특별히 벡터처럼 보이는 이유는?
  • Covariant vs contravariant vector의 차이는?

References

  • Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences

Notes from Claude

벡터의 정의는 변환 성질로 주어진다. Boas 교재의 접근은 displacement vector를 prototype으로 사용하여, 이와 같은 변환 규칙을 따르는 모든 양을 벡터로 정의한다.

은 변환된 좌표계에서 측정한 같은 물리적 벡터의 성분을 의미한다. 물리적 대상 자체는 변하지 않지만, 기준틀(좌표계)이 바뀌면 그 성분 표현이 달라진다.

Axial vector는 reflection 시 추가 부호 변화를 겪으며, 엄밀히는 antisymmetric tensor다. 이는 외적의 정의가 좌표계의 orientation에 민감하기 때문이다.

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