Time Reversal Operator

Time Reversal Operator (시간 반전 연산자)

개념 개요

시간 반전 연산자 (또는 )는 양자역학에서 시간의 방향을 뒤바꾸는 대칭 연산자이다. 고전역학과 달리 양자역학에서는 복소함수와 확률진폭을 다루기 때문에 시간 반전이 단순하지 않다.

고전역학에서의 시간 반전

고전역학에서 시간 반전 는 다음과 같은 변환을 일으킨다:

• 위치: → 위치의 부호는 바뀌지 않는다.
• 속도: → 속도의 부호는 바뀐다!!! 그야 운동을 역제생한 비디오를 보면 속도가 반대 방향으로 보이기 때문
• 가속도: → 가속도의 부호는 그대로이다.
• 각운동량: → 속도와 같이 각속도와 각운동향의 부호는 바뀐다.

양자역학에서의 시간 반전

반유니터리 연산자

양자역학에서 시간 반전 연산자는 반유니터리(antiunitary) 연산자이다:

여기서:

• : 유니터리 연산자
• : 복소켤레 연산자

시간 반전의 성질

1. 슈뢰딩거 방정식에 대한 작용:
   

   시간 반전 후:
   

2. 해밀토니안의 변환:
   시간 반전 불변성을 가지려면:
   

스핀-1/2 입자에 대한 시간 반전

파울리 스핀 행렬의 변환

구체적인 표현

스핀-1/2에 대해:

스핀 상태에 대한 작용:

크라머스 정리 (Kramers’ Theorem)

의 성질

반정수 스핀 입자의 경우:

정수 스핀 입자의 경우:

크라머스 축퇴

반정수 스핀을 가진 입자가 홀수 개 있는 시스템에서, 시간 반전 불변 해밀토니안의 모든 에너지 준위는 최소 2중 축퇴된다.

증명 개요:

• 이 에너지 의 고유상태라면, 도 같은 에너지를 가진다
• 만약 라면,
• 그런데 이므로 (불가능)
• 따라서 와 는 서로 다른 상태이며, 같은 에너지를 가진다

물리적 의미

1. 자기장의 효과: 자기장은 시간 반전에 의해 방향이 바뀐다
2. 궤도각운동량:
3. 스핀:

응용

고체물리학

• 에너지 밴드 구조의 대칭성
• 홀 효과와 관련된 현상들

원자물리학

• 제만 효과에서의 축퇴 제거
• 스핀-궤도 결합 효과

핵물리학

• 핵 스핀 상태의 분석
• 베타 붕괴에서의 패리티 위반

실험적 검증

시간 반전 대칭성은 대부분의 물리 현상에서 보존되지만, 약한 상호작용에서는 작은 위반이 관찰된다 (CP 위반과 관련).

참고 문헌

• Sakurai, J.J. “Modern Quantum Mechanics”
• Tinkham, M. “Group Theory and Quantum Mechanics”