몇 가지 Vector Analysis HW 풀이

시험 대비

Electrodynamics 그 모든 것
전기역학1 중간고사 대비 기출 문제 풀이. 원본: Old HW PHYS503.pdf

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1. (6) Vector identities via Levi-Civita notation

→ 여기 문제는 내 기준 다 쉬움.
종이에는 다 풀었음. 나중에 전산화하기.

Show that with the use of Levi-Civita notation,

a)

풀이:

b)

내가 중요하다 생각한 식, 교수님도 중요하게 생각함.
풀이:

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c)

풀이:

1b)의 항등식 을 적용:

왜냐하면, 두 벡터 와 에 대해 이므로.

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d)

풀이:

우변을 변환:

좌변을 변환:

이므로,

적용:

여기서 더미 인덱스를 재명명하면 ( 및 ):

따라서 좌변 = 우변.
Poisson_Equation_for_Dirac_Delta_and_Point_Charge_Potential

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e)

풀이:

어떤 벡터 에 대해 그 발산을 아인슈타인 표기로 나타내면,

곱의 미분 법칙을 적용:

첫째 항:

여기서 를 이용했다.

둘째 항:

여기서 (인덱스의 역할 바꿈, 반대칭으로 부호 변경)를 이용했다.

따라서,

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f)

풀이:

먼저 일반적인 를 전개하자.

적용:

전개하면:

이제 , 대입. 필요한 보조 결과:

, 이므로,

대입하면:

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2. (5) Derivatives of

With , show that the replacement of to is valid for:

풀이:

는 상수 벡터이므로 는 오직 에만 작용한다. 핵심은 다음 관계식이다:

따라서 , 즉 가 에 작용할 때마다 를 곱하는 것과 동일하다.

① :

② :

따라서 .

③ :

②의 결과를 두 번 적용:

④ :

①의 결과에 다시 적용:

⑤ :
벡터 이중곱 공식은 알아두자.
아래 노트에서 상세히 유도했다.
이중곱은 짭플라시안 빼기 라플라시안.
Vector Identities in Electrodynamics

또는 직접 계산:

모든 경우에 치환이 성립한다.

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3. (4) Laplacian of

Show that,

풀이:
이미 풀어본 적 있는 문제.
아래 노트에 상세히 정리됨
Poisson_Equation_for_Dirac_Delta_and_Point_Charge_Potential
r이 0이 아닌 곳에는 그냥 라플라시안을 풀어보면 0이 나온다.
가우스법칙을 이용하면 식의 좌변을 통적분한 값이 라는 것을 알 수 있다.

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4. (5) Equivalence of three forms (spherical coordinates)

Show that the following three forms (in spherical coordinates) are equivalent.

a)

b)

c)

풀이:

(a) → (c):

→ (c)와 같다.

(b) → (c):

→ (c)와 같다.

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5. (5) Complex representation

Show that

for the complex representation to have the

for any physical quantities of a, b or c.

풀이:

와 가 같은 진동수로 시간에 의존적이다.

실제 물리량의 외적:

를 사용하면:

따라서:

시간 평균을 취하면, 이므로:

한편, (시간 의존성 상쇄) 이고,

따라서:

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