중간고사 대비 - 이정도 유도는 모두 할 수 있어야 한다! 리스트

2026년 전기역학1 중간고사 대비용
여기 있는 질문을 따라가면서, 혼자서 모든 공식 유도를 하거나 공식을 외울 수 있다면 아무 문제 없다. 아마도.

질문 리스트

Vector calculus identity, 이외 자잘한 수학들

중복된 index가 하나 있는 두 개의 레비치비타의 곱을 크로네커 델타로 나타내어라. 이건 컬 두 번 연산할 때 꼭 필요한 식이다.

이중 컬 공식을 외워두면 편하다!

부호가 헷갈린다. 짭플라시안이 +인가, 벡터 라플라시안이 +인가? 정 모르겠으면 레비치비타로 직접 유도하는 게 오래 걸리지는 않는다. 충분히 할 수 있다.

두 벡터의 cross product의 divergence 공식, 물론 레비치비타로 쉽게 유도할 수 있다.

, , 라는 거 외워두기
발산 연산을 r에 대한 미분과 방향 벡터로 나타내면?

발산의 성질을 그대로 보여주는 식이라고 생각한다.

이것은 적분 항 내부에 이 있을 때 미분형으로 식을 만들고 유도를 하는 과정에서 쓰인다.

=?

기본 정전기학과 맥스웰 방정식

E 와 D field 관계식, B와 H field 관계식
맥방 미분형 써보기, E field와 B field 버전이랑, D field H field 버전 둘 다.
맥방 적분형 써보기

쿨롱 힘 공식 써보기
가우스 법칙, 왜 쿨롱힘 공식에 가 들어가나?

가우스 곡면을 구껍질로 잡는다.

정전기학에서 전기장 공식, 이용해 적분형으로
푸아송 방정식 써보기 (부호 주의, 비례 상수 주의)

전기장과 포텐셜은 양전하 입장에서 쓰인다. 양전하는 양전하끼리 척력이 발생하니, 가 높은 곳은 양전하가 존재하기를 꺼리기 때문에 포텐셜이 위로 볼록한 모양이어야 한다. 따라서 포텐셜의 2계 미분이 음수여야 한다.

3차원에서 푸아송 방정식의 green function
green function으로 임의 에 대해 푸아송 방정식 해 찾는 방법

로렌츠힘 공식
비오-사바르 공식 써보기 벡터의 방향에 주의. cross product에서 뭐가 먼저 나오더라?
Continuity equation of charge and current
자기벡터 포텐셜 정의
쿨롱 게이지를 만족할 때, 자기벡터포텐셜 구하는 방법(벡터 푸아송 방정식)

벡터 푸아송 방정식이라고 해봤자, x, y, z 성분 개별에 대한 스칼라 푸아송 방정식이다.
벡터 라플라시안이 개별 성분 각자에 대한 스칼라 라플라시안으로 정의되어 있기 때문이다.

벡터 푸아송 방정식의 green function과 일반해

페러데이 전자기 유도 미분형 찾아내기, 기전력 공식을 이용해 유도.

기전력과 magnetic flux의 관계식(부호 주의), 그리고 전기장이 한 일로 나타낸 기전력 공식을 이용한다.
기전력의 정의는 단위 전하가 전기장에 의해 받는 일

위 식에서 전기장 시간 미분 항이 왜 나오는가? 전류와 전기 밀도의 연속체 방정식, 그리고 가우스 법칙을 이용해 유도하라.

dipoles

dipole moment의 방향이 +에서 -인가, -에서 +인가?

이게 헷갈리는 이유가, 화학이랑 물리에서 convention이 정반대이기 때문이다. 킹받아.

electric dipole moment의 potential, dipole 하나 공식과 dipole density를 이용한 공식 둘 다 적어보기.

점 dipole의 potential, dipole moment가 이미 거리 성분을 가지고 있기 때문에 포텐셜이 에 비례. 점전하는 에 비례했다는 걸 감안하면 다른 부분이다.
또한 Dipole moment는 벡터이기 때문에 포텐셜또한 방향에 영향을 받음.
dipole moment와 의 내적에 비례. 두 개의 전하를 머리에 그려보면 당연함. 과 가 직교하면(내적이 0이면) 그건 dipole의 양전하와 음전하랑 떨어진 거리가 똑같은 상황이다.

dipole density potential 공식에 의 곱의 규칙을 적용하고, 발산 정리를 적용해서 포텐셜을 공간 적분과 면적분항으로 쪼갤 수 있다.
위를 이용해 dipole에 의한 면전하 밀도와 부피 전하 밀도를 구할 수 있다. 이를 bound charge라고 한다.
bound charge 공식의 부호가 왜 그렇게 결정되었나? 그림을 그려 납득하라.

E-field의 가우스 법칙은 모든 전하 밀도에 적용되는 반면, D-field의 가우스법칙은 자유 전하 밀도에만 적용된다. 전기장에 선형적으로 polarization이 된다는 가정 하에, elecric suseptibility와 permittibility의 관계식을 D-field에 대한 식을 이용해 찾아라.

magnetic dipole의 vector potential
magnetization density에 의한 포텐셜
bound current → 이거 유도하는데 부호가 헷갈림!!!!
H-field, magnetic susceptibility, magnetic permeability

포텐셜과 게이지 변환

전자기장과 두 가지 포텐셜들의 관계식 쓰기, 전기장의 경우에 부호 유의

먼저 B의 자기 포텐셜의 필요성부터 시작, (컬의 발산은 0이다) 그 다음 를 이용해 스칼라 포텐셜의 필요성을 찾는다. (그라디언트의 컬은 0이다)

게이지 변환 식 쓰기, 벡터포텐셜에 먼저 맞춰주기 (그라디언트의 컬은 0이다)
게이지 변환 해도 전자기장은 똑같다는 걸 확인하기

두 가지 포텐셜로 맥스웰 방정식 다시 쓰기.

Lorentz condition은 무엇인가? 이게 보장된 경우, 두 가지 포텐셜들이 파동방정식을 따른다는 걸 확인.
전하 밀도, 전류 밀도가 정해졌을 때 두 가지 포텐셜을 어떻게 계산할 수 있나?
Lorentz condition을 만족하는 에 대한 방정식은?

쿨롱게이지 조건은 무엇인가?
이 조건에서 스칼라 포텐셜과 전하 밀도 사이 공식은?
자기벡터 포텐셜에 대한 방정식은? 왜 이 식의 양변에는 transverve 한 성분밖에 없는가?
전류밀도의 longitudinal component를 어떻게 구할 수 있나?

field energy conservation, momentum conservation

전기장이 전하에 하는 일의 일률을 전류밀도와 전기장에 대한 식으로 나타내라.
자기장은 왜 일을 안 하는가?
전류밀도에 맥스웰 방정식을 도입하여, poynting vecotr와 field energy 공식 유도
에너지 보존의 최종 식은?

전자기파

파동 진행 속도와 유전율 투자율 관계식

진공에서 로렌츠 게이지가 만족될 경우, 벡터 포텐셜이 파동 방정식을 따른다는 것을 보여라.
벡터 포텐셜이 파동방정식을 따르면 곧바로 전기장과 자기장도 파동방정식을 따름을 보여라.

해답들

두 레비치비타에서 i하고 j의 위치가 같고, n하고 k의 위치가 같음을 확인

이중 컬 공식 → 짭플라시안이 양수, 벡터라플라시안이 음수다.
두 벡터의 cross product의 divergence 공식

미분할 때 표기에서 분자 분모가 뒤집어진다.
이라는 식을 유용하게 쓸 때가 많다.
발산 연산인 경우.
오로지 3차원에서만 성립.

정전기학에서 전기장 공식, 이용해 적분형으로

위 식에서 전기장 시간 미분 항이 왜 나오는가? 전류와 전기 밀도의 연속체 방정식, 그리고 가우스 법칙을 이용해 유도하라.
→ 컬의 divergence는 0이 되어야한다. 따라서 위 공식의 우변의 발산은 0이 되어야 한다. 연속페 방정식과 가우스 법칙을 이용하면 위 공식의 우변의 발산이 0이라는 걸 알 수 있다.

dipole moment의 방향은 -에서 +다

벡터 Stokes 정리 (부피 → 면)

발산 정리로부터 유도되는 관계식:

아래 유도에서 사용된다.
부호에 유의한다!

: magnetization density

에너지 보존 공

좌변에서 첫번째 항은 mechanical work rate, 두번째 항은 field energy이다.