비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

오늘의 핵심

Time-independent perturbation theory: exact solution을 아는 문제에서 출발해, 풀 수 없는 문제의 근사해를 구하는 방법.
핵심 트릭은 dimensionless parameter 로 easy problem()과 hard problem()을 연결하고, solution을 에 대한 power series로 전개하는 것.
이 아이디어는 양자역학 밖에서도 쓰인다 (algebraic equation 예제).
Perturbed Hamiltonian 를 Schrödinger equation에 넣고 의 차수별로 식을 맞추면 first order theory, second order theory가 차례로 나온다.
First order energy correction은 의 diagonal element로 구한다: .
First order wave function correction은 의 off-diagonal element로 구한다.

기호 정리

Symbol	Meaning
	Unperturbed Hamiltonian (exact solution을 아는 것)
	Perturbation Hamiltonian
	Dimensionless perturbation parameter,
	Unperturbed eigenfunction, eigenvalue
	-th order correction
	Matrix element

Perturbation theory는 양자역학 고유의 방법이 아니다. 일반적인 방정식에도 쓸 수 있고, concept은 수업에서 배운 것과 완전히 같다.

Solution을 아는 쉬운 방정식 () exact solution을 모르는 어려운 방정식

를 0에서 1로 연속적으로 변화시키면서 solution이 에 의해 어떻게 변하는지를 본다.
Solution을 에 대한 함수로 취급하면, 에 대한 power series로 전개할 수 있다.

의 solution을 구하기는 어렵다. 반면 은 쉽다. 이 둘을 를 포함한 식으로 잇는다.

이면 쉬운 문제, 이면 원래의 어려운 문제다.
에서 를 0에서 1로 옮겨감에 따라, solution도 슬금슬금 변한다.
따라서 solution은 에 대한 함수이다.

Solution이 에 대해 analytic하다면 power expansion 할 수 있다.
(어떻게 analytic함을 확인할 수 있는지는 나에게 물어보지 말아라.)

결국 을 찾는 문제로 귀결되었다.

을 알고 있으므로, 이다.

이제 나머지 들을 구하면 된다. (3)을 (1)에 대입하면

의 1차항만 모으면, 모든 에 대해 식이 성립해야 하므로 의 계수는 0이어야 한다.

의 2차항을 모으면, 역시 계수가 0이어야 한다.

따라서, 을 이차식까지는 찾아냈다. 원한다면 얼마든지 나머지 을 구할 수 있다.