기저 변환 행렬 — 내적 방식과 Jacobian 방식이 같은 이유

기호 정리

선형 변환에서, 좌표 변환 행렬의 성분은 내적과 Jacobian 두 방식으로 모두 표현된다:

Passive transform의 관점에서, 벡터 자체는 고정되어 있고 기저만 바뀐다. 벡터 을 두 기저로 전개하면:

새 기저 가 정규직교(orthonormal)하다고 가정하면, 완전성 관계를 이용해 이전 기저를 새 기저로 전개할 수 있다:

이것이 성립함을 확인: 양변에 를 내적하면,

항등식이므로 성립. ✓

이제 원래 전개식에 대입하면:

와 비교하면:

이것이 선형 관계이므로, Jacobian을 계산하면:

내적 방식 = Jacobian 방식

위 증명에서 를 사용했다. 이것은 새 기저 가 정규직교할 때만 성립한다.

새 기저가 정규직교가 아니면 완전성 관계

가 일반적으로 성립하지 않는다. 이 경우 쌍대 기저(dual basis) 를 도입해야 한다. 쌍대 기저는 를 만족하도록 정의된다. 그러면 완전성 관계는:

로 수정되고, 좌표 변환은:

정규직교 기저에서는 이므로 원래 증명으로 돌아온다. 이 구분이 바로 텐서에서 공변(covariant)/반변(contravariant) 성분의 차이로 이어진다.

내적 방식은 전역적(global)으로 정의된 상수 행렬을 준다. 이것은 변환이 선형일 때만 가능하다.

비선형 변환에서는 가 비선형 함수이므로 는 각 점에서 달라진다 — Jacobian은 국소적(local) 선형 근사만을 준다. 이 경우 내적 방식으로 전역 변환 행렬을 정의할 수 없다.

해석역학의 canonical transformation 가 바로 이 경우다. 위상공간에는 내적 구조가 따로 정의되지 않으므로, 변환 행렬은 오직 Jacobian으로만 정의된다:

그리고 이 이 점마다 다를 수 있으므로, symplectic 조건 는 각 점에서 국소적으로 성립해야 하는 조건이다.

	내적 방식	Jacobian 방식
선형 변환	✅ 전역적으로 정의됨	✅ 일치
비선형 변환	❌ 적용 불가	✅ 국소적으로 정의