AM lecture note - Liouville theorem and Canonical transformation

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Poisson bracket and constraints

오늘의 핵심

• Phase space에서 시간 발전은 부피 를 보존한다 → Liouville 정리
• Liouville 방정식:
• Stationary state: 이면 자동으로
• Poincaré recurrence theorem: 유한한 phase space를 가진 계에서 임의의 상태는 유한 시간 내에 초기 상태 근방으로 돌아온다.
• Canonical transformation 도입: 새 좌표 로 변환하되 Hamilton 방정식의 형태를 보존하는 변환. Jacobian 이 를 만족하면 symplectic transform이라 한다.

필기 내용

도입: 양자화와 phase space

오늘 강의 처음에 나온 질문들:

• 2nd class constraint system에서는 디랙 괄호로 양자화가 가능하다.
• 질문: 그럼 1st class에서는 양자화가 힘든가?
• 질문: 이전에는 푸아송 괄호를 바로 Lie bracket으로 바꾸는 게 양자화라고 들었는데… 아하 constraint가 없어서 푸아송 괄호랑 디락 괄호가 같나보구나.

오늘은 phase space의 특성을 이해하는 것이 목표다. 와 가 직교한다는 게 무슨 의미인지, 나중에 논의하자. 해밀턴 역학에서는 와 가 phase space를 이룬다.

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Liouville 정리 유도

Phase space 부피의 시간 발전

오늘 수업은 Liouville 정리를 다룬다.

Time evolution이 해밀토니안으로 주어지면, phase space에서 차원의 부피 를 지정하여 (이것은 여러 상태들의 집합이다. 각 상태는 의 벡터로 나타낼 수 있다) 이 부피 속에 있던 상태들이 시간이 지난 뒤 phase space의 어느 위치로 이동하는지 볼 수 있다.

이 때 부피는 보존되어, 압축할 수 없다.

증명해보자.

시간이 만큼 지난 시점에서 좌표계를 변환한다:

변환된 부피는 Jacobian 로 계산된다:

Glia의 보충 (2026-03-24) — 왜 부피 원소 변환에 가 등장하는가?

엄밀하게는 을 외적(exterior product, wedge product) 으로 써야 한다:

Wedge product의 핵심 성질은 반대칭성이다:

2차원 예시로 변환을 생각하면, 연쇄법칙으로:

면적 원소를 wedge product로 계산하면:

반대칭성 , 을 적용하면:

괄호 안이 정확히 Jacobian의 행렬식이다. 이것이 우연이 아니라, 의 정의 자체가 이 반대칭 구조에서 나오는 것이다. 차원으로 일반화하면 동일한 논리로:

따라서 필기의 는 이 wedge product 관계의 축약 표현이다.

Jacobian 행렬은 다음과 같다:

각 성분을 계산하면:

이를 블록 행렬 형태로 쓰면:

여기서 은:

이로부터 를 계산한다:

을 계산하면:

편미분의 교환 가능성 (가 매끄러운 함수이므로)에 의해 두 항이 정확히 상쇄된다.

따라서 이므로 . Phase space 부피가 보존된다. ✓

질문 (필기 중 발생)

determinant 구하는 동안 어떤 수학적 trick을 사용한 건가?

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Liouville 방정식

가 phase space density라 하면, 전체 적분이 입자 수 으로 보존된다:

는 phase space에서 정규화된 입자 수 밀도이다.

해밀턴 방정식을 이용하여 의 time evolution을 계산하자. 총 입자 수는 유지되어야 하므로:

의 전미분을 전개하면:

따라서:

이것이 바로 Liouville 방정식이다.

Glia의 보충 (2026-03-24)

은 **전미분(total derivative)**이 0이라는 뜻이다. 즉, phase space에서 흐르는 유체의 관점에서 특정 ‘유체 원소’를 따라가면 밀도가 변하지 않는다. 이것이 비압축성(incompressibility)과 같은 의미다.

반면 는 **편미분(partial derivative)**으로, 고정된 phase space 좌표 에서의 밀도 변화율이다. 이 둘의 차이가 바로 Liouville 방정식이 표현하는 내용이다.

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Stationary state와 평형 조건

Stationary state는 으로, 쉽게 구할 수 있다.

이 되려면, 가 온전히 에 대한 함수가 되면 된다. 즉:

이면 자동으로 이다. 이를 확인하면:

내 생각

은 아마 stationary condition이며, 여기에 equilibrium 조건을 넣으면 가 나올 것 같다.

일부 변수를 적분해 내면 coarse grained information을 얻을 수 있다:

그러나 이것으로 에 대해 닫힌 방정식을 풀기는 어렵다. (BBGKY 계층 구조와 관련됨)

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Poincaré recurrence theorem

Phase space에서 initial state 영역을 하는 것 로 생각하자. 그것의 이웃에 대해, 가 차지한다. .

유한 시간 에, 내부 임의의 한 점은 다시 로 돌아온다.

이것이 성립할 조건은 전체 phase space가 유한한 것, 즉 전체 에너지가 보존되어야 한다는 조건이 필요하다.

성립하는 이유는 해밀턴 역학이 time-reversal 하기 때문이다.

주의

이것은 열역학 2법칙을 위반하는 것처럼 보이나, 실제로는 아니다. Poincaré recurrence time은 우주의 나이보다 훨씬 길기 때문이다.

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Canonical transformation 도입

이 내용은 다음 강의 필기에 더 잘 설명되어 있다.

이제부터 해밀턴 방정식을 푸는 방법을 논의할 것이다. Canonical transformation에 대해 알아보자.

행렬 표기법

한 상태를 벡터로 표시하자:

여기서 , .

이자로 쓰면:

Matrix 는 matrix로 정의된다:

각 4개의 블록은 matrix이다. 이를 이용하면 해밀턴 방정식을 행렬 꼴로 나타낼 수 있다:

Canonical transformation의 정의

어떤 transform이 여전히 이 식을 만족하는가?

이 transform에 의한 Jacobian 행렬을 이라 두자:

만약 이 다음을 만족하면:

이것을 symplectic transform이라 한다. 그리고 이 변환이 Hamilton 방정식의 형태를 보존하는 canonical transformation이 된다.

궁금한 내용

• det 계산에서 전개에 사용된 수학적 트릭은 무엇인가? ( 공식?)
• Canonical transformation이 정확히 어떻게 Hamilton 방정식을 보존하는지 (symplectic 조건의 유도)
• 1st class constraint system에서 양자화가 어려운 이유는?

AI의 보충 설명

Glia의 보충 (2026-03-24) — 트릭

필기에서 사용된 수학 트릭을 설명한다.

핵심 공식: 임의의 가역 행렬 에 대해

이 성립한다. 이를 에 적용하면:

이제 극한에서 로그를 급수 전개한다:

Trace를 취하면:

따라서:

그런데 이므로

왜 인가? 행렬 를 대각화하면 (고유값 ), 그러면:

• 이므로
• 이므로

두 표현이 같다.

연관 학습 노트

• AM lecture note - Hamiltonian mechanics
• AM lecture note - Poisson bracket and constraints

References

• David Tong, Classical Dynamics lecture notes

다음 강의

AM lecture note - Canonical transformation

필기 원본

AM_5thweek_1.pdf