스라소니 머릿속에는

AM lecture note - Canonical transformation

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강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Liouville theorem and Canonical transformation에서 Liouville 정리와 canonical transformation의 기본 개념을 다뤘다.

오늘의 핵심

해밀턴 운동방정식을 심플래틱 행렬로 나타낼 수 있다.

여기서 는 와 모두가 될 수 있으며, index는 1부터 2N 까지이다.
index가 N보다 작으면 를, 보다 크면 를 나타낸다.
(), ().

  • Canonical transformation의 조건: symplectic matrix 가 보존됨

사실 는 와 들의 Poisson 괄호 결과값을 미리 저장해둔 행렬이었다:

심플레틱 행렬로 푸아송 괄호를 표현할 수 있다.

  • Poisson bracket이 canonical transformation 하에서 불변
  • Infinitesimal canonical transformation의 generating function

필기 내용

Symplectic 조건과 Canonical Transformation

index가 1부터 N까지 있다고 치자, 즉 자유도가 N인 시스템이다.

심플렉틱 행렬 를 다음과 같이 정의한다:
이것은 2N by 2N matrix이다.

0과 둘 다 N by N matrix이다.

Hamilton 운동방정식을 이 행렬로 쓸 수 있다는 것을 저번 시간에 배웠다.

여기서 는 와 모두가 될 수 있으며, index는 1부터 2N 까지이다.
index가 N보다 작으면 를, 보다 크면 를 나타낸다.
(), ().

새로운 좌표계로의 변환

변환 시 운동방정식은 어떻게 변환되는가?
위의 를 이용한 꼴의 운동방정식이 의 좌표계에서는 어떻게 바뀌는지 확인해 보자.

Jacobian matrix

를 도입하면:

index summation 순서 주의.
는 summation 순서가 반대여서(바로 앞의 matrix 와 index가 연관 되는 순서를 보아라.) transpose했다.

Canonical transformation의 정의

를 만족할 때, 즉

가 성립할 때, 변환을 canonical transformation (혹은 symplectic transformation)이라 부른다.

Poisson Bracket의 불변성

는 Poisson 괄호의 기본 성질이 유지됨을 의미한다. 즉, , 로 변환해도 아래 Poisson 괄호 연산 결과가 유지된다:

matrix로 Poisson bracket 쓰기

matrix를 이용하면 Poisson 괄호를 간결하게 나타낼 수 있다:

는 정확히 matrix 의 번째 행 번째 열 원소를 나타낸다.

는 일종의 metric?

는 일반적 metric과는 다른, Poisson structure를 정의하는 antisymmetric bilinear form이다.

Jacobian을 이용한 새로운 좌표계에서의 Poisson bracket

을 이용하면:

이기 때문에 기존 좌표계로 Poisson 괄호를 푼 결과와 새 좌표계로 푼 결과가 같다.

의 블록 분해

와 은 matrix이지만, 그 중 일부만 블록으로 뽑아볼 수 있다.
블록으로 뽑아버린 경우, matrix 위에 을 씌워 표기하겠다.

을 다음과 같이 정의한다 ():

좌표계에서 번째 좌표인 와 를 보고, 좌표계에서 번째 좌표인 과 에 대해서만 자코비 행렬을 보겠다는 의도이다.
자체는 matrix이다.
전치 행렬에 대해서도 마찬가지이다.

사실 는 와 들의 Poisson 괄호 결과값을 미리 저장해둔 행렬이었다:

결과적으로:

(4개의 블록으로 조각낸 모양이다.)

아까 보았던 Hamilton 방정식의 행렬 표현도 알고 보니 chain rule의 결과였다:

Chain rule을 적용하는 과정을 풀어 쓰자면,

도 블록으로 조각낼 수 있다. 오직 와 의 Poisson 괄호 관계만 본다면,
는 matrix:

이제 를 계산해 보자:

은, 즉 심플레틱 행렬이 유지되는 것은 Poisson 괄호의 성질이 유지되는 것과 동치이다.

Infinitesimal Canonical Transformation

아주 작은 좌표계 변화를 만드는 canonical transformation을 생각한다:

는 아주 작은 수, 변환이 얼마나 일어났는가의 척도.

이 변환이 canonical transformation이 되려면 와 이 어떤 조건을 갖추어야 하는가?

여기서 를 적용하면 조건이 나온다:

이는 어떤 함수 에 대해,

이어야 함을 의미한다. 이는 코시-리만 조건과 닮아 있다.

우리는 를 generating function이라고 부르며:

이다. Poisson bracket 형태로 쓰면:

따라서 위상 공간에서의 변분은:

가 라면, 는 곧 이다. 가 시간에 대한 generator가 된다.

Generating function의 물리적 의미

는 사실 라그랑지안에서 total differential term이다. 자세한 내용은 다음 시간에 다룬다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

Canonical Transformation and Symplectic Structure

References

David Tong, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

다음 강의

AM lecture note - Generating function

필기 원본

AM_5thweek_2.pdf

필기 스캔본 이미지


필기본과 위 전산화한 내용의 notation이 다르다.
일부러 바꾼 거임!!

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