AM lecture note - Generating function

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Canonical transformation에서 심플렉틱 조건, Poisson bracket의 불변성, infinitesimal canonical transformation과 generating function의 개념을 다뤘다.

오늘의 핵심

Canonical transformation은 변환 전후 라그랑지안이 total derivative 만큼 차이 나도 된다는 사실로부터, generating function 를 정의할 수 있다. 의 독립변수 선택에 따라 의 네 가지 형태가 있으며, 이들 사이는 Legendre 변환으로 연결된다.

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그리고 Hamilton-Jacobi 방정식은 를 generating function으로 사용할 때 새로운 해밀토니안 이 되는 조건에서 유도된다.

필기 내용

Generating function의 정의

Canonical transform에 쓰이는 generating function은 변환 전후 라그랑지안의 관계를 나타낸다:

라그랑지안에 시간에 대한 total derivative term이 들어가도 equation of motion이 달라지지 않는다는 것을 안다. 따라서 변환 전후 라그랑지안 와 는 total derivative 만큼 차이 나도 괜찮다. 이 차이가 바로 generating function의 시간 미분이다.

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: 와 의 함수

예를 들어, 가 와 의 함수라고 하자.

이를 대입하고 이라 하면:

따라서:

에서 는 와 에 대한 함수이고, 또한 와 에 대한 함수이다.

이 generating function이 canonical transform을 나타낸다면, Poisson bracket의 성질을 유지해야 할 것이다:

는 와 에 대한 함수이고, 또한 와 에 대한 함수이므로, 를 바로 계산할 수 없다. 와 이므로 chain rule을 이용해 편미분을 계산해야 한다.

계산을 전개하면:

정말 복잡하지만 놀라운 관계다.

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: 가장 많이 쓰이는 generating function

보통 많이 쓰이는 generating function은 이다. 이 경우에도 정리해 보면:

대신 가 필요하므로:

를 이용한다. 대입하면:

따라서:

이제 와 는 와 에 대한 함수.

대입하면:

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,

이 외에도 와 를 변수로 생각한 , 와 를 변수로 생각한 도 생각할 수 있다. 같은 canonical transform을 나타내는 사이는 Legendre 변환의 관계이다.

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Legendre 변환 관계 (네 generating function 사이)

Legendre 변환 관계도는 다음과 같다:

와 의 변환, 과 의 변환도 같은 방식으로 보일 수 있다.

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Generator와 generating function의 관계

로 놓으면:

가 보존되는 경우, generating function은 무엇인가? … (필기 일부 불명확)

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Canonical coordinate로 해밀턴 방정식 푸는 법

, 을 만족하는 변환을 찾으면 된다:

즉, 이거나 상수여야 한다.

를 사용하는 경우:

를 대입하면:

이것이 바로 Hamilton-Jacobi 방정식이다. → 내가 원래 알던 해밀턴-야코비 장정식과 이것이 대체 왜 동일한 건지 모르겠다.

해밀턴-야코비 방정식은 원기둥 좌표계의 eigon function이고, 이건 원기둥 좌표의 대칭성과 카시미어에 의해 결정된다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

AM lecture note - Canonical transformation

References

David Tong, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

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