AM lecture note - Symplectic geometry intro

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Generating function에서 generating function의 네 가지 형태(), Legendre 변환 관계, Hamilton-Jacobi 방정식을 다뤘다.

오늘의 핵심

이제 미분기하, symplectic geometry를 시작한다. 해밀턴 방정식을 differential form으로 나타내는 방법을 배울 것이다.

오늘의 핵심 개념:

• Tangent space: 점 에서의 접선 공간
• Vector field: 각 점에 tangent vector를 대응시키는 사상
• Integral curve: 를 만족하는 곡선 → 운동 방정식을 따르는 궤도
• Lie bracket: 두 벡터장의 commutator , 미분기하의 핵심 구조
• Tangent map (push-forward): 매끄러운 사상 가 벡터장을 어떻게 이동시키는지

예시: 가 phase space에서 해밀토니안을 나타낸다 치자. 해밀턴 방정식은 integral curve를 만들어 낸다. 이를 결정하는 vector field는:

(와 가 의 역할을 하는 것)

Vector field와 integral curve, 그리고 0-form에 미분 연산자처럼 작용하는 vector field

이 연산 결과 또한 0-form이다.

RHS 계산:

Lie bracket 정의:

이를 이용해 tangent vector를 mapping하는 **를 정의한다:

의 basis를 가 어떻게 mapping하는지는, 그냥 좌표계 변환이다.

따라서 에 속한 일반적인 벡터 에 대해서:

필기 내용

Vector field란 무엇인가?

, ,

Tangent space of :

• 는 point를 나타내고, 는 velocity vector를 나타낸다.
• 는 tangent vector를 나타낸다.
• 이것은 linear structure를 가진다. 같은 점 에서 정의된 두 tangent vector는 선형적으로 더할 수 있다.

---

는 시간이라는 매개변수를 manifold 위의 한 점으로 mapping하는 함수, 즉 운동 그 자체이며, manifold 위의 curve이다.

로 tangent vector를 정의할 수 있다. 가 지나가는 특정 점 에서 가 만드는 속도.

---

가 위의 vector field일 때, 이는 점과 tangent vector를 mapping하는 함수이다.

vector field basis:

즉, 방향으로만 속도가 1인 벡터장.

모든 에 대해, 들은 의 basis를 이룬다.

모든 벡터장은 이렇게 나타낼 수 있다 (아인슈타인 summation convention):

앞으로 를 가끔 라고 표기하자.

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Integral Curve

상미방을 벡터장과 연관지어 보자. 상미방의 해 = 운동 방정식을 따르는 궤적,이는 곧 상미방으로 정의된 벡터장의 흐름을 따르는 입자.

정의: Let be the open interval.

이런 곡선을 integral curve of the vector field on 라고 부른다.

질문

Initial condition에 따라서 상미방의 해는 여러가지이다. 그러니 한 vector field로 정의되는 integral curve도 무한히 많은 curve의 집합을 이루지 않겠는가?

예시:

이 는 를 위한 integral curve이다.

---

Theorem (ODE 해의 존재와 유일성)

가 local domain 위에서 smooth vector field라면, each point 에 대해 integral curve 가 존재하여 . Any two such integral curves meeting at are equal on the cross section of their domain.

이것은 ODE solution의 existence and uniqueness에 의한 성질이다.

, 이면:

예시: 가 phase space에서 해밀토니안을 나타낸다 치자. 해밀턴 방정식은 integral curve를 만들어 낸다. 이를 결정하는 vector field는:

(와 가 의 역할을 하는 것)

---

벡터장과 미분 연산자

벡터장 그 자체는 위에 있는 함수에 대한 미분 연산자로 작동한다.

이 연산자는 라이프니츠 규칙을 만족한다:

역학의 모든 특성은 위상 공간의 기하가 결정한다.

미분 연산자를 이해하는 기하학적 방법:

Let , , , .
그리고 curve 가 벡터장 의 integral curve일 때()
Then:

RHS 계산:

이것은 chain rule에 의한 것이다. 라는 함수가 integral curve를 따를 때 어떻게 변하는지 알 수 있다.

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Lie bracket

는 위에 있는 smooth vector field의 공간.

Lie bracket 정의:

여기서 는 commutator와 같은 기능이다.

성질:

1. for any constant

계산하면:

이것도 라이프니츠 규칙을 만족한다 → Lie bracket은 진짜 벡터장이다!

명시적 계산:

따라서:

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Lie bracket의 성질

1. Bilinear
2. Skew symmetry:
3. Jacobi identity → 이게 핵심, 연산의 consistency를 만든다:

라고 두고, 교환 법칙이 성립한다고 두면, generator 에 대해:

가 성립함을 볼 수 있다. → 직접 증명은 나중에 해 보기!

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Tangent map, push-forward

Let , be two open subsets.
둘의 좌표계를 이렇게 나타내자:
,

는 smooth map, 에서 로 정의되는 mapping:

이를 이용해 tangent vector를 mapping하는 **를 정의한다:

의 basis를 가 어떻게 mapping하는지는, 그냥 좌표계 변환이다.

따라서 에 속한 일반적인 벡터 에 대해서:

---

기하학적 이해: 위의 커브를 하나 생각하자.

커브를 위로 옮기는 것은 가 한다:

이 곳의 에서 tangent vector는:

는 커브의 속도를 위에서 위로 옮겨준다.

---

Proposition: pushing-forward로 합성함수처럼 연산할 수 있다.

Let ,

교환 다이어그램:

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

AM lecture note - Generating function
AM lecture note - Canonical transformation
AM lecture note - Hamiltonian mechanics

References

주요 교재: [[Chapter3_Interlude of Sympletic Geometry_[Si Li] Classical Mechanics and Geometry.pdf]]

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AM lecture note - Differential forms

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