스라소니 머릿속에는

AM lecture note - Hamiltonian mechanics

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강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Noether theorem in field theory

오늘의 핵심

  • 로렌츠 힘의 Lagrangian에서 게이지 변환이 에 total derivative를 더하는 방식으로만 영향을 준다는 것을 확인함
  • 르장드르 변환으로 을 정의하고, Hamilton 방정식을 유도함
  • 로렌츠 힘 예시로 임을 확인
  • Hamiltonian 역학에서의 variational principle과 constraint 처리 방법 (Poisson bracket으로 나타나는 consistency condition)

필기 내용

로렌츠 힘 Lagrangian과 게이지 변환

텐서 연산이 들어가기 때문에 헷갈린다. 주의할 것

지난 시간에 로렌츠 힘 예시를 보았다.

, 의 포텐셜을 도입하면, Lagrangian은:

우리는 게이지 변환이 와 , 그리고 운동방정식에 영향을 주지 않는다는 것을 안다. 그래서 액션 역시 게이지 불변이어야 하고, 게이지 변환에 의한 에는 시간에 대한 total derivative term만 추가되어야 한다.

진짜 그런지 확인: 변환된 포텐셜은

먼저 알아야 할 것: 시간 전미분 공식

이를 이용하면:

따라서:

extra term인 는 정확히 시간에 대한 total derivative이다. ✓

다시 돌아가서, 운동방정식을 구하면:

벡터 를 시간에 대해 전미분하면:

여기서 는 벡터 그라디언트이며, 2차 텐서이다. 이렇게 index summation하는 경우는 를 오른쪽에 적는다.

그래서 운동방정식을 더 풀어 쓰면:

숙제 풀이: 원통 좌표에서의 운동방정식과 각속도 (HW1 #6)

직접 풀었음음

아래는 숙제 6번 문제의 풀이이다. 라그랑지안이 로렌츠 힘을 재현함을 보이고, 구체적인 벡터 포텐셜에서 각속도 공식을 유도한다.

문제: 전자(질량 , 전하 )가 자기장 속에서 운동한다. 라그랑지안은:

원통 좌표 에서 이 주어졌을 때, 초기 시각에 이고 속도가 평면에 있다면 축 둘레의 각속도를 구하라.

Step 1: 라그랑지안 전개

원통 좌표에서 이고, 이므로:

Step 2: 벡터 그래디언트 텐서와 운동방정식

원통 좌표 에서 벡터장 의 벡터 그래디언트 는 2차 텐서이다.

유도: 를 에 텐서곱으로 작용시킨다. 기저 벡터 가 에 의존하므로:

에 대한 기저 벡터의 미분은 모두 0이다.

(1) 방향 미분 (): 기저 벡터가 에 의존하지 않으므로 단순 편미분:

이것이 텐서의 첫 번째 열(column)을 준다.

(2) 방향 미분 (): 곱의 법칙 + 기저 벡터 미분이 핵심이다.

성분끼리 모으고 을 곱하면, 텐서의 두 번째 열이 된다:

성분성분성분

여기서 와 이 곡률 보정항이다.

(3) 방향 미분 (): 기저 벡터가 에 의존하지 않으므로 단순 편미분:

세 열을 모으면 일반 공식이 된다:

여기에 , , 을 대입한다. 가 에만 의존하므로 미분은 모두 0이다. 0이 아닌 성분만 계산하면:

  • 성분:

  • 성분:

  • 성분:

따라서:

오일러-라그랑주 방정식으로부터 운동방정식 세 개를 얻는다:

Step 3: 보존량을 이용한 각속도 유도

운동방정식을 직접 풀기보다, 가 순환 좌표임을 이용한다. 에 자체가 나타나지 않으므로 정준 각운동량이 보존된다:

초기 조건 적용: 초기에 이고 속도가 평면에 있으므로 이다. 따라서:

임의 시각에서 보존 법칙을 적용하면:

에 대해 정리하면:

풀이 전략의 교훈

이 문제에서 운동방정식을 직접 세우는 것은 “라그랑주 방정식이 로렌츠 힘을 재현함을 보여라”는 전반부에 필요하다. 하지만 각속도를 구하는 후반부에서는 대칭성 → 보존량 → 초기 조건 대입이라는 전략이 훨씬 효율적이다.

일반적 원칙: 순환 좌표가 보이면, 운동방정식을 풀지 말고 보존량부터 쓰라.

해밀턴 역학 — 개론적 설명

해밀턴 역학을 해야 하는 이유: 2차 상미방의 기본 형태는

이것이다. 이 미분방정식을 coupling된 2개의 1차 상미방으로 나타낼 수 있다. 이런 2차 상미방을 만드는 Lagrangian을 찾고, 르장드르 변환을 통해 Hamilton을 찾고, 그걸 풀면 원하는 것을 얻을 수 있다고 한다.

동기

phase space에서 canonical transformation과 관련 있다는데 무슨 의미인지… (추후 학습)

르장드르 변환

라는 함수가 있을 때 (convex function), 라고 하면, 에 대한 함수 로 를 변환할 수 있다:

여기서 대응 관계는:

이런 관계로 변환할 수 있다.

Hamilton 방정식 유도

전미분:

한편 이므로:

계수 비교하면:

Lagrange 방정식에 의해:

이게 equation of motion이다.

정리하면:

예시: 로렌츠 힘의 Lagrangian으로부터 Hamiltonian 구하기

궁금한 점

이 effective momentum인가?

이 Hamiltonian을 이용해 두 개의 연결된 1차 상미방을 얻을 수 있다.
바로 과 가 나타내는 것이 이것이다.

Hamiltonian 역학에서 Variational principle

변분을 취하면:

에 부분 적분을 적용:

경계 조건 으로 경계항 소멸. 정리하면:

Glia의 보충 (2026-03-12)

이 단계에서 와 는 독립적인 변분이다 — Hamiltonian 역학은 phase space 에서 정식화되므로, 둘을 별개의 독립변수로 취급한다.

따라서 이 되려면 각 계수가 동시에 0이어야 한다:

계수 계수

두 Hamilton 방정식이 동시에 유도된다. 필기에서 를 미리 대입해 항을 소거한 것처럼 보이지만, 논리 순서가 반대다 — 이 방정식은 유도의 결과이지 가정이 아니다.

Hamiltonian 역학에서 Constraint 처리

Constraint는 의 식으로 주어지는데, 액션에 이를 더하면:

변환된 Lagrangian과 Hamiltonian:

이로부터 수정된 운동방정식:

Constraint는 시간에 대해 일정해야 하므로 (consistency condition):

대입하면:

Poisson bracket 로 쓰면:

궁금한 내용

  • effective momentum 의 물리적 의미는? → 해소됨 (아래 참고)
  • Canonical transformation과 phase space의 관계 (르장드르 변환과 어떻게 연결되는지)
  • Constraint의 Poisson bracket 조건이 Dirac bracket으로 이어지는 과정

Glia의 보충 (2026-03-12) — kinetic momentum vs canonical momentum

는 운동학적 운동량(kinetic momentum) 이다. “effective momentum”보다 이 이름이 더 정확하다.

두 운동량의 비교:

정준 운동량 (canonical)운동학적 운동량 (kinetic)
정의
역할Hamiltonian 형식의 변수실제 물리적 운동량
게이지 불변?❌✅

왜 는 게이지 불변인가?

게이지 변환 하에서:

항이 정확히 상쇄된다. 근본적으로 은 입자의 실제 속도에만 의존하고, 게이지 변환은 포텐셜의 수학적 재서술일 뿐 물리적 운동을 바꾸지 않기 때문이다.

Hamiltonian을 로 쓰면:

이건 그냥 운동에너지 + 퍼텐셜에너지다.

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

다음 강의

AM lecture note - Poisson bracket and constraints

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