스라소니 머릿속에는

AM lecture note - Noether theorem in field theory

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강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Noether theorem

저번 강의에서 시간에 대한 generator 와 공간에 대한 generator 를 정의했다.

그리고 뇌터 정리의 최종 결과는 이것이었다.

여기서 부분이 바로 해밀토니안이다.

오늘의 핵심

  • 오늘 강의는 상대론적 notation을 사용한다. 는 일반화 속도, 는 일반화 좌표이다.
  • 입자 역학의 뇌터 정리를 field theory 버전으로 확장한다.
  • 대칭성에 해당하는 보존되는 Noether current 를 구한다:
  • 마지막에는 로렌츠 힘의 Lagrangian을 다룬다.

필기 내용

상대론적 표기법 도입

오늘 강의는 상대론적 notation을 사용한다.

  • : 일반화 좌표
  • : 일반화 속도??

액션은 다음과 같이 쓴다.

예시.

이건 라그랑지안이고, Euler-Lagrange 방정식은

풀면 . 파동 방정식이 나온다.

상대론적 notation에서의 경계 조건

상대론적 notation에서는 시간이나 공간이나, 둘 다 그냥 위상공간의 한 축으로 취급된다.
이 되는 곳을 찾아 surface integral을 한다고 한다.

Field theory 버전의 Lagrangian과 뇌터 정리

스칼라 필드의 변환

는 스칼라 field이다. 좌표 변환을 생각해보자.

AI 보충

이 성질은 오직 scalar field에서만 적용된다.
스칼라 필드는 좌표계가 바뀌어도 각 시공간 점에서의 값이 변하지 않는다는 뜻이다.
벡터장이나 텐서장이라면 변환 행렬이 추가로 곱해진다.

의 존재를 명확하게 하기 위해 이렇게 정의하자.

아마 는 field에서 field를 mapping하는 함수인 것 같다.

액션의 변환

액션도 변환된다.

이때, 이고, chain rule을 적용하면

또한 .
여기서 는 Jacobian matrix의 determinant이다.

그러므로

개인적인 이해

지금까지의 전개는 에 대한 적분과 표현식을 에 대한 것으로 바꾸기 위함인 것 같다.

예시: 평행 이동과 로렌츠 변환

첫 번째 예시. 평행 이동
는 상수 벡터.

가 스칼라장이라면

즉

이러면 trivial하게 이다.

두 번째 예시. 로렌츠 변환

이때는 는또다른

로렌츠 변환 행렬은 아래 조건을 만족해야 한다.

는계량텐서

그러면 변환된 액션은 이렇다. Jacobian의 determinant는 1.

Infinitesimal transform

변환된 좌표 가 의 함수라고 취급하자. 이다.

이것 역시 에 대해 1차 테일러 전개하면,

를 로 미분하는 게 아니라 를 로 미분하는 게 핵심이다.

Generator란 무엇인가.

주의

같은 좌표 에서 와 를 비교한다.

이 를 generator라 부른다.

Generator 유도

테일러 전개를 이용해서 를 구체적으로 구해보자. Chain rule과 테일러 전개를 이용한다.

AI 보충

빨간 메모: 에 대한 2차 이상 항은 infinitesimal limit에서 무시된다.

따라서

  • 가 스칼라인 경우, 이다. 왜냐면 그래야 스칼라니까.
  • 항은 coordinate transform의 효과이고,
  • 항은 함수의 변화에 의한 효과이다.

로렌츠 변환을 이용한 예시 (이해 못 함)

각 운동량 generator는

이 스핀이라고 한다. 는 각운동량이고.

Noether current 유도

따라서

여기서 와 가 공통으로 가진 는 trace임을 의미한다.

액션을 전개하면

이 적분항의 모든 걸 테일러 전개하면, 결과는

이게 conserved Noether current이다.

로렌츠 힘에 대한 라그랑지안 역학

로렌츠 힘 방정식:

이것에 대한 라그랑지안은 무엇인가?

패러데이 법칙:

여기서 는 velocity dependent potential이다.

  • 는 전기장에 의한 potential
  • 는 자기장에 의한 potential

이 라그랑지안으로 라그랑주 방정식을 구하면

이거풀줄알아놓기

Scalar product의 그라디언트:

궁금한 내용

  • 로렌츠 변환 예시에서 , , , 그리고 가 각각 무엇을 의미하는가?
  • Generator 정의에서 가 붙는 이유는? (양자역학적 convention인가?)
  • 로렌츠 변환 예시에서 스핀()과 각운동량()이 어떻게 분리되는가?
  • 라그랑지안에서 라그랑주 방정식으로 넘어가는 계산 () 직접 유도해보기

AI의 보충 설명

AI 보충: . field는 무엇에서 무엇으로 가는 함수인가?

스칼라 필드의 경우:

시공간의 각 점 마다 하나의 실수값을 할당하는 함수다.

입자 역학과 비교하면:

입자 역학Field theory
독립변수
일반화 좌표
일반화 속도
자유도유한 개무한 개 (각 점마다)

입자 역학의 가 “시간 에서 입자의 위치”였다면,
는 “시공간의 점 에서 장(field)의 값” 이다.
즉, 시공간을 시스템의 configuration space로 mapping하는 함수다.
(위상공간은 위치+운동량을 모두 포함하므로, 정확히는 configuration space가 적절한 표현.)

예를 들어 파동함수 같은 경우는, 특정 위치와 시점에서 파동의 위상이 곧 filed가 mapping하는 값이다.

점입자를 field로 나타내려면?
억지로 표현하면 Dirac delta를 써야 한다:

이건 매우 singular하고 field theory의 틀에 자연스럽지 않다.
오히려 관계의 방향은 반대가 자연스럽다 — field를 양자화하면 입자가 나온다.
(전자기장 양자화 → 광자, 스칼라 필드 양자화 → 스칼라 입자)
즉 입자는 field의 excitation(들뜸) 으로 이해된다. 이것이 QFT의 핵심이다.

AI 보충: 스칼라 필드의 좌표 변환 — passive vs active

스칼라(scalar)의 정의 = 좌표계 변환에 불변인 값.
따라서 가 스칼라 필드라면, 같은 시공간의 점을 다른 좌표로 불렀을 때도 그 점에서의 값은 동일하다.

여기서 와 는 같은 물리적 점을 다른 좌표로 표현한 것이다.
지금까지 변환을 뜻하는 저 화살표의 의미를 잘못 파악하고 있었는데,
이것은 물리적으로 같은 점에 대한 표기를 왼쪽에서 오른쪽의 값으로 바꾸겠다는 뜻이다.

는 “좌표 이름이 바뀌었을 뿐, 그 점의 물리적 값은 그대로”라는 뜻이다.
벡터장이었다면 처럼 변환 행렬이 추가로 작용한다.
스칼라는 이 변환 행렬이 항등()인 특수한 경우다.

주의: 스칼라 조건과 물리적 대칭성은 별개의 문제다.

비교 대상좌표물리적 점항상 성립?
스칼라 조건다름같은 점YES, 스칼라의 정의
평행이동 대칭성같음다른 점NO, 계의 물리적 성질에 따라 다름

예를 들어 원점의 점전하 를 생각하면:

  • 좌표계를 만큼 평행이동하면 (같은 점을 로 부르면) ✓ (스칼라 조건)
  • 전하 자체를 만큼 옮기면 (평행이동 대칭성 깨짐)

Active vs Passive transformation:
Generator 정의 에서는 좌표값 를 고정하고 함수 형태를 비교한다.
이것은 active transformation 관점 — 같은 좌표 라는 숫자에서 비교하므로, 물리적으로는 서로 다른 시공간의 점을 비교하는 셈이다.
반면 스칼라 조건 는 passive transformation 관점이다.

즉:

  • — 같은 좌표, 다른 함수 형태 (active)
  • — 같은 물리적 점, 스칼라 조건 (passive)

오늘 강의에서 테일러 전개로 로 바꾸는 계산이 바로 이 두 관점을 연결하는 과정이었다.

AI 보충: 로렌츠 조건

이 식은 로렌츠 변환이 민코프스키 계량을 보존한다는 조건이다.
는 민코프스키 계량 텐서 (혹은 부호 convention에 따라 ).
쉽게 말하면, 두 사건 사이의 시공간 간격 이 로렌츠 변환에서 불변임을 뜻한다.
이것이 바로 특수 상대성 이론의 핵심 대칭성이다.

연관 학습 노트

References

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