스라소니 머릿속에는

AM lecture note - Noether theorem

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강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Holonomic constraints

오늘의 핵심

대칭에 의한 보존량

대칭의 정의와 라그랑주 방정식을 이용하면, 대칭에 의해 보존되는 양이

임을 유도할 수 있다.

저거 외우는 방법? space translation과 운동량이 제일 간단한 예시이다.
앞부분에 있는 이 바로 generalized momentum의 정의이며, 이기 때문이다.

필기 내용

뇌터 정리 (Noether’s Theorem)

라그랑지안으로부터 대칭성을 찾아라 → 뇌터 정리.

라그랑지안에 연속 대칭이 있다면, 그에 상응하는 보존량이 있다.

보존량이란?

어떤 양 에 대해 .

라그랑주 방정식이 성립하면 해밀토니안은 보존량이다

이 에 명시적으로 의존하지 않는다면, 시간에 대해 대칭인 것이고,

는 보존량이다. 양자역학에서 보존량은 양자화 가능하며, 해밀토니안은 시간의 generator라는 사실은 익히 알고 있다.

증명:

위 식에 대입하면 모든 항이 cancel out, 0이 된다.

이 증명에 따르면

경로가 오일러-라그랑주 방정식을 따라야만 해밀토니안이 보존된다는 말씀.
→ 따르지 않는 경우가 양자역학이다.

Generalized momentum

특정 일반화 좌표 에 대해 이라면?

는보존량이다우린이걸이라부른다

증명은 아주 간단, 라그랑주 방정식을 이용한다.

뇌터 정리 유도하기, 간단한 방법

는 라그랑주 방정식을 만족하는 운동이다. 즉, 운동방정식의 soultion이다.

라는 정도로 좌표를 transform한 결과를 라고 생각하자. (time transform은 아직 생각하지 않는다.)

는 연속적인 값을 가진다. 뇌터 정리는 연속 대칭에 대해서만 유효하다.
예를 들어 space translation이라면, s는 원래 좌표계의 원점과 변환 좌표계의 원점 사이 변위 벡터이다.

이라면 변환 전과 후가 똑같을 것이다.

대칭의 정의

의 변화에 따라 운동 방정식이 달라지지 않으면,
다른 말로 해 이 변하지 않으면, 그 시스템은 에 대해 대칭인 것이다.

대칭에 의한 보존량

대칭의 정의와 라그랑주 방정식을 이용하면, 대칭에 의해 보존되는 양이

임을 유도할 수 있다.

저거 외우는 방법? space translation과 운동량이 제일 간단한 예시이다.
앞부분에 있는 이 바로 generalized momentum의 정의이며, 이기 때문이다.

증명:

이라는 조건을 넣으면 와 에 있던 가 가 된다. 당장은 납득하기 힘들고, 잊어버리기 쉬운 부분이다.

라그랑주 방정식을 대입

이란 점을 이용하면, 위의 식을 싹다 시간에 대한 미분으로 나타낼 수 있다.

에 의해, 결국 위 값은

따라서,

는 보존되는 양이다.

예시 — Homogeneity of Space

Tong lecture note에 그대로 있는 내용.
운동량의 보존을 유도하자.
시스템 내부입자들 끼리만 상호작용하는 경우,
그러니까 외력이 없는 시스템의 라그랑지안은 다음과 같다.

변환: (은 병진 이동 방향 벡터)

보존량:

→ 운동량은 보존량이다.

예시 - Isotropy of Space

변환: (은 회전축 벡터)
는 infinitesimal angle이다.

L이 에 의해 변하지 않는다면, 각운동향은 보존된다.

첫째 식에서 둘째 식으로 넘어갈 때 generalized momentum공식과 vector identity가 이용되었다.

갈릴레이 변환의 10개 Generator에 적용 (Noether’s theorem의 전문적 유도, 진짜 복잡함)

갈릴레이 변환에 있는 10개의 generator를 적용해 보자.
→ 위키피디아를 참고해 강의하셨다.

복잡해서 혼자서 하나부터 열까지 직접 유도하라고 하면 못 할 거 같다.
나중에 필요할 때 자세히 보자.

이제는 시간 변환까지 고려한다!

는 time generator.
은 translation을 하는 정도이다. 이게 정확히 어떤 의미인지는 노트 후반부 Q&A를 참고.
이면 translation을 하지 않는 것을 의미한다.

일반화 좌표는 라는 함수를 이용해서 변환한다.
문제는 속의 시간 까지 로 변환해야 한 다는 것이다.

변환된 일반화 속도는 이렇게 정의된다. 이 아니라 로 미분해 준다.

AI 보충 — 왜 이 아니라 로 미분하는가?

시간 병진 변환 에서 이 infinitesimal이면 이므로, 수치적으로는 로 미분하든 으로 미분하든 차이가 없다. 라고 내가 생각했다. AI가 맞다고 해줬다.

그럼에도 로 미분하는 것으로 정의하는 이유는 계산의 편의성 때문이다.
으로 미분하면 나중에 에 대해 미분할 때, 이므로 이 에 의존해서 추가 항이 생겨 복잡해진다.

반면 로 미분해두면, -미분과 -미분의 교환이 깔끔하게 성립한다:

즉, 로 미분하는 것은 편의를 위해 선택한 정의이고, 이것이 Step 1~3의 계산을 깔끔하게 만들어준다.

풀어주면

Action은 변환되기 이전에 이렇게 주어진다.

변환된 이후의 action은 이렇게 구해야 한다.

변환된 일반화 좌표와 속도를 대입하면,

위키피디아 유도 기반

판서의 미완성 부분을 Wikipedia의 Noether’s theorem Derivations 섹션을 바탕으로 완성했다. 교수님께서도 위키피디아 스샷을 보고 판서하셨었다.
원본: Noether’s theorem — Wikipedia

Step 1: 에서 미분 (Leibniz rule)

대칭 조건 () 에서 으로 미분하고 으로 놓는다.
이 적분 경계에 있고 내부 적분 항에도 있어서 계산이 복잡하다.
이런 때에 사용하는 것이 Leibniz rule이다.

이걸 에 적용하면,

일단 결과는 이렇다. 을 어떻게 구했는지가 참 의문이다. 한번 풀어보면

AI 보충 — 계산

은 와 를 통해 에 의존하므로 chain rule:

첫 번째 인수 의 미분:
이 의 첫 번째 인수 안에도, 두 번째 인수 자체에도 들어있으므로 chain rule:

두 번째 인수 의 미분:
곱이므로 product rule:

앞 항: 도 이 두 곳에 들어있으므로 chain rule:

뒤 항: 에서 은 를 통해서만 들어오므로:

따라서:

전부 합치면 (에서 ):

Step 2: 오일러-라그랑주로 에 관한 항 정리

오일러-라그랑주 방정식을 이용하면 다음이 성립한다:

이를 Step 1 식

에 대입하면 적분 내 에 관한 항들이 경계항으로 빠져나온다:

Step 3: 오일러-라그랑주로 에 관한 항 정리

같은 방법으로 적분 내의 에 관한 항도 경계항으로 빠진다:

최종적으로:

뇌터 보존량 (Noether Charge)

가 임의적이므로 대괄호 안이 보존량이다. 에서 이므로:

부호 주의: 이므로 에 의한 항은 , 에 의한 항은 이다.

갈릴레이 군 10개 Generator 적용

변환보존량
시간 평행이동 (에너지)
공간 평행이동 (운동량)
회전 (각운동량)
갈릴레이 부스트 (질량중심)

궁금한 내용

왜 양자역학에서 보존량은 양자화 가능한 걸까?

왜 는 에 대한 함수인가?

은 이미 처음에 time translation의 척도로 쓴 변수이다.
그런데 이걸 space translation을 일으키는 에서 또 쓴다.
병진 이동 거리 같은 별도의 물리적 변수를 쓰지 않는 이유가 뭘까?

AI 보충 설명

뇌터 정리를 적용하려면 변환을 하나의 실수 매개변수로 이어지는 연속적인 경로로 봐야 한다. 그게 이다.

이면항등변환이면원하는변환

즉, 은 “변환을 얼마나 했는가”를 나타내는 단일 실수 눈금이다.

병진 이동 예시: ” 방향으로 거리 만큼 이동”은 이렇게 표현한다:

일 때 원하는 변환이 완성된다. 별도의 변수 가 하나로 흡수된 것이다.

핵심: 뇌터 정리에서 실제로 필요한 건 유한한 변환 자체가 아니라, 근방의 infinitesimal 변환:

이것만 있으면 보존량을 구할 수 있다. 변환의 구체적인 물리적 변수가 뭔지는 중요하지 않고, 그 변환이 근방에서 어떤 방향으로 좌표를 움직이는지만 알면 된다.

따라서 는 물리적 변수(, 회전각, …)를 이라는 하나의 추상적인 눈금으로 통일한 표현이다. 이렇게 하면 어떤 종류의 연속 변환이든 같은 공식 하나로 처리할 수 있다.

AI 보충 — 하나로 갈릴레이 군 10개 generator를 모두 표현할 수 있는가?

결론: 은 “변환의 세기”만 담당하고, 변환의 종류(방향, 축 등)는 와 의 함수 형태가 결정한다.

은 “볼륨 다이얼”에 비유할 수 있다. 어떤 음악을 틀지는 와 가 결정하고, 볼륨 다이얼은 항상 같은 역할(크기 눈금)만 한다.

갈릴레이 군의 10개 변환을 나열하면:

변환
시간 평행이동 (1개)
공간 병진 (3개) ()
회전 (3개)
갈릴레이 부스트 (3개)

하나가 10가지 정보를 동시에 담는 것이 아니라, 각각의 변환에 대해 을 독립적으로 10번 별도 적용하는 것이다. 뇌터 정리의 공식 하나로 어떤 연속 대칭이든 처리할 수 있는 것은 바로 이 구조 덕분이다.

AI의 보충 설명

뇌터 정리의 중요성

뇌터 정리는 현대 이론 물리학의 근간이다:

대칭보존량
시간 평행이동에너지 (해밀토니안)
공간 평행이동운동량
회전각운동량
게이지 대칭전하 (전자기학)
위상 대칭입자 수 (양자역학)

특히 해밀토니안이 시간의 generator라는 말은 양자역학에서 가 시간 발전 연산자임을 통해 명확해진다. 고전역학에서 보존량이 generator인 것, 양자역학에서 에르미트 연산자가 유니터리 변환을 생성하는 것이 같은 구조다 — 포아송 브라켓과 양자역학 교환자의 연결성 참고.

Cyclic Coordinate

인 좌표를 cyclic coordinate 또는 ignorable coordinate라 한다. 오일러-라그랑주 방정식에 의해 즉시 이 나온다. 이것은 뇌터 정리의 가장 단순한 케이스로, 좌표 의 대칭에 대응된다.

연관 학습 노트

References

다음 강의

AM lecture note - Noether theorem in field theory

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