강의 필기
이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
AM lecture note - Poisson bracket and constraints
오늘의 핵심
- Constraint system은 1st class와 2nd class로 나뉜다 —
의 invertibility로 결정 - 1st class:
의 inverse가 없는 경우 → constraint가 게이지 변환의 generator - Free spinless relativistic particle: 질량 껍질 조건
이 1st class constraint로 등장 - 전자기장(EM field):
가 Lagrange multiplier 역할, Gauss 법칙 이 1st class constraint - 게이지 변환의 generator
, 그리고 그에 따른 , 계산
필기 내용
서론: 1st/2nd class constraint의 구분
오늘은 1st class constraint system의 예시를 볼 것이다. 밤에는 2nd class constraint system의 예시를 볼 것이다.
Constraint들의 consistency condition으로 나뉜다:
의 inverse가 존재하면 → 2nd class - inverse가 없으면 → 1st class : constraint가 게이지 변환의 generator이다
궁금한 내용
고전 역학을 양자화한다는 게 경로적분에서 phase가 생기는 것과 연관이 있을까?
로 연관지을 수 있을까?
Glia의 보충 (2026-03-19)
맞아. 방향은 반대지만 연결은 실재한다.
정준 양자화: 고전역학 → 양자역학 방향으로,
로 대응시킨다. Poisson bracket이 교환자(commutator)가 된다. 경로적분: 고전적으로 허용되는 경로 하나만이 아니라 모든 경로에
위상을 부여해 합산한다. 극한에서 인 경로(정류점)만 살아남아 고전역학을 재현한다. 이게 경로적분에서 phase가 생기는 이유다. 두 관점은 동치이고, Dirac이 처음 연결했다.
Constraint가 0이므로, 이것(generator)에 대한 최적 charge는 0이어야 한다.
예시 ①: Free spinless relativistic particle
라그랑지안과 액션
공간에서 가장 짧은 거리의 경로가 free particle의 이동 경로다. 상대론에서 이것은 고유시간으로 쓰면:
여기서
궁금한 내용
가 뭘까. 공간을 결정하는 metric인가? 일반상대론 개념이라 한다.
Glia의 보충 (2026-03-19)
는 metric이 아니라 **공변 운동량(covariant momentum)**이다. metric 는 민코프스키 계량으로 거리를 정의하는 텐서이고, 는 반변 운동량 와의 관계 로 정의된다.
이면 (부호규약에 따라). metric이 음수 부호를 만들어주는 구조다.
시공간은
정준 운동량
이로부터 자연스럽게:
이 constraint가 나온다.
궁금한 내용
왜 constraint가 되는 건지?
이라는 것과 어떻게 연결되는가?
Glia의 보충 (2026-03-19)
constraint가 되는 이유:
를 제곱하면 이 항등적으로 나온다. 운동방정식에서 유도된 게 아니라 운동량의 정의 자체에서 항등적으로 나오는 조건 → constraint.
과의 연결: 상대론적 입자에서 을 계산하면 이 나오는데, 이것은 reparametrization invariance(고유시간 를 자유롭게 재정의할 수 있는 대칭)의 결과다. 이 바로 constraint 과 같은 것이고, 는 이 constraint를 action에 집어넣는 Lagrange multiplier다.
Hamiltonian formalism
Hamiltonian을 해밀톤 방정식으로 쓰면:
궁금한 내용
라그랑지안 안에서 시간 미분이 등장하지 않는 변수는 모두 Lagrange multiplier인가? Lagrange multiplier가 또 다른 물리량이라는 점이 어색하게 느껴진다.
Glia의 보충 (2026-03-19)
맞아, 1차 formalism에서는 그렇게 봐도 된다. action
에서 는 가 없으니 로 변분하면 이라는 constraint만 나오고 자체의 운동방정식은 없다. 즉 는 **임의 함수(arbitrary function)**로 남아 게이지 자유도가 된다. 어색하게 느껴지는 건 당연한데, Lagrange multiplier는 “물리량”이라기보다 constraint를 action에 집어넣는 수학적 도구이고, 그 값이 고정되지 않는다는 게 바로 게이지 불변성의 표현이다.
예시 ②: Electromagnetic field (1st class constraint system)
액션
가우스 법칙은 gauge transform의 generator이다.
전자기 텐서 액션의 전개
더 전개하면:
맥스웰 방정식:
정준 운동량
이것을 해밀토니안으로 전환하면
이것이 modified Hamiltonian (constraint 포함).
해밀톤 형식 액션
Constraint: 가우스 법칙
궁금한 내용
이건 가우스 법칙?
가 인가? 에 상응하는 운동량이 전기장이라고?
Glia의 보충 (2026-03-19)
맞아. 정의를 따라가면:
전기장의 정의 자체가
이니까 는 정확히 전기장의 각 성분이다. EM field에서 canonical momentum이 전기장이라는 아름다운 사실로, “위치”가 , “운동량”이 인 셈이다.
운동방정식:
Consistency condition:
자세히 계산하면:
Poisson bracket의 기본 관계:
궁금한 내용
왜 푸아송 괄호 계산하는 데에, 다른 위치에서 두 물리량을 고려하는 것일까?
Glia의 보충 (2026-03-19)
이게 장론(field theory)에서의 Poisson bracket 특성이다.
입자역학에서는 자유도가 유한하니
만 있으면 충분하다. 그런데 장론에서는 각 공간점 마다 자유도가 하나씩 있다 — 와 는 서로 다른 자유도다. 그래서:
일 때만 비자명한 bracket을 갖고 (dirac delta), 이면 독립적인 자유도이라 0이 된다. 이게 장론에서의 **국소성(locality)**을 반영하는 거다.
symmetric property를 이용해서 0이 됨.
이게 consistency condition으로 작동한다!
게이지 변환
지난 시간, 게이지 변환의 general한 form:
궁금한 내용
이것의
랑 아래 식의 랑 같은 건가?
Glia의 보충 (2026-03-19)
달라. 역할이 유사하지만 다른 개체다.
(소문자): Dirac formalism에서 constraint 에 곱해지는 Lagrange multiplier. 임의의 constraint system에나 등장하는 일반적인 기호. (대문자): EM field의 게이지 변환 파라미터. 를 생성하는 임의 함수. EM field에서는
가 의 역할을 하고, 는 게이지 변환을 parametrize하는 별개의 함수다. 두 개가 구조적으로 대응하는 건 가 와 같은 패턴을 함이다.
Generator:
이것이
게이지 변환에서 전기장이 변하지 않듯,
맥스웰 방정식과 constraint
따라서
이 내용에서
돌아가면 방정식의 제한이 constraint가 된다는 것을 더 살펴봐야 한다.
맥스웰 방정식이 각각 전기장과 자기장이 가질 수 있는 상태를 제한한다.
이게 constraint로 라그랑주 역할에 반영되는 것이다.
예시 ③: Spinless relativistic point particle (Hamiltonian)
다각 방정식을 고전 역학 버전으로 만들자.
공간에서 가장 짧은 거리의 경로가 free particle의 이동 경로다.
물리와 상관없는 임의적인 좌표계 선택의 자유도는 운동방정식을 바꾸지 않는다.
이로부터
그러면… 이게 왜 constraint가 되는 거지?
해밀톤 방정식으로 쓰면:
라그랑지안 안에서 그 변수에 시간 미분이 등장하지 않는 변수는 모두 Lagrange multiplier이다.
궁금한 내용
AI의 보충 설명
Glia의 보충 (2026-03-19): 대칭성, 임의성, 그리고 보존량
강의 중 교수님이 강조한 핵심 통찰:
“인간이 임의적으로 결정하는 양은 수식을 풀기 위해 박아 정한 값이기 때문에, 운동방정식을 바꾸지 않는다. 이것이 대칭성이고, 대칭성은 보존량을 만든다.”
구체적인 예:
임의로 결정하는 양 대칭성 보존량 공간 원점의 위치 공간 병진 대칭 운동량 시간의 기준점 시간 병진 대칭 에너지 공간의 방향 회전 대칭 각운동량 게이지 함수 게이지 대칭 전하 이것이 Noether 정리의 본질이다. AM lecture note - Noether theorem 참고.
갈릴레이 변환 vs 게이지 변환의 차이:
- 갈릴레이/로렌츠 변환 → global 대칭 (
= 상수, 시공간 전체에서 같은 변환) - 게이지 변환 → local 대칭 (
, 위치·시간마다 다른 변환 허용) Local 대칭이 있으면 반드시 위상공간에 잉여 자유도(redundancy)가 생기고, 이것이 1st class constraint로 나타난다. 즉:
세 가지는 같은 말이다.
연관 학습 노트
References
David Tong, Classical Dynamics lecture notes
다음 강의
AM lecture note - Relativistic particle and Dirac bracket
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