AM lecture note - Poisson bracket and constraints

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Hamiltonian mechanics

오늘의 핵심

• Poisson bracket의 네 가지 대수적 성질(antisymmetry, linearity, Leibniz rule, Jacobi identity)
• Poisson bracket을 이용한 시간 발전: , 보존량 조건
• 각운동량 의 Poisson bracket: , Casimir invariant
• Laplace–Runge–Lenz 벡터: 케플러 운동의 또 다른 보존량
• Gauge theory와 Dirac constraint formalism — 1차(게이지)/2차 constraint의 구분

필기 내용

Poisson bracket 복습 및 성질

두 함수 와 에 대해 Poisson bracket은:

(Einstein summation convention을 따른다.)

왜 와 가 orthogonal?

나중에 다룰 예정이라고 함.

네 가지 성질

꼭 위의 표현식을 따를 필요도 없이, 아래의 네 가지 성질을 따르는 것을 푸아송 괄호로 취취급한다고 한다.

① Antisymmetry

② Linearity ()

③ Leibniz rule

여기에 antisymmetry를 적용하면,

④ Jacobi identity (consistance condition)

Group과의 연관

Group의 definition을 상기하면 — 연산의 closure, identity, inverse.
4번 규칙은 association rule에 더해 infinitesimal transform을 넣으면 증명 가능하다고 한다. 지금 당장은 무슨 말인지 모르겠다.
이게 심플렉틱 기하학(symplectic geometry) 과도 연관된다 한다.

해밀토니안 역학에서 Poisson bracket의 특성

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시간 발전과 보존량

임의의 함수 의 시간 전미분:

Hamilton 방정식 , 를 대입하면:

따라서 가 보존량이 되는 조건: 이고 .

궁금한 내용

그럼 위 식은 뇌터 정리와 동치인가?

Lie bracket과의 연결?

(Lie bracket과의 연결이 언급됐는데, 를 소개하는 데 이게 Moyal product 라고 불리고 Lie bracket과 연결된다고 함)

Jacobi identity를 이용한 보존량의 성질

이고 이면:

즉, 두 보존량의 Poisson bracket도 보존량이다.

궁금한 내용

이것의 물리적인 함의는 무엇인가?

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각운동량의 Poisson bracket

를 계산하면:

자세한 유도 (추가 필기 2026-03-18)

일반적인 경우 유도

, 으로 쓰면:

Leibniz rule을 적용하면 (, 을 이용해 소거):

대입하면:

- 항등식 을 적용:

이것을 - 항등식으로 다시 쓰면:

따라서:

일반화하면:

Casimir invariant

Casimir Invariants 참고.
모든 연산자와 commute하는 것 — Casimir invariant.

놀랍게도, 는 Hamiltonian이다. Hamiltonian은 Casimir invariant이다.

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Laplace–Runge–Lenz (LRL) 벡터

행성의 타원 운동에서 — 행성과 항성의 거리에 따른 또 다른 보존량.
(Space translation은 대칭이 아니지만 회전은 대칭)

임을 쉽게 보일 수 있다고 한다.
Poisson bracket의 성질만을 이용해 을 증명해 보자:

이제 우리는 6개의 보존량을 가졌다.
그래서 마치 회전을 4차원에서 하는 것이다.
최전면이 6개인 곳, 이제 의 대칭에서 로 승격됐다.
이런 방법은 수소 원자를 풀 때도 쓸 수 있다.

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Gauge theory와 Dirac constraint formalism

이 부분은 혼란스럽다. 배경을 모르는 모델을 풀고 있기 때문이다.
레퍼런스를 참고해 더 공부해보자.

1차원 Scalar QED 모델 (예시)

액션:

궁금한 내용

이거 지금 갑자기 왜 풀고 있는 거지? 와 가 뭐인지? 왜 라그랑지안이 이렇게 주어지는 거지?

① Gauge symmetry (redundancy)

(는 시간에 대한 임의의 함수)

운동방정식:

가 임의의 시간에 대한 함수일 때, , 가 solution이다.

② 정준 운동량과 Hamiltonian

Hamiltonian:

액션을 로 쓰면:

변분:

Glia의 보충 (2026-03-18): Constraint와 EOM의 구분

왜 을 “constraint”라고 부르는가?

핵심 기준은 시간 미분의 유무이다.

• 운동방정식(EOM): , 형태 — 시간 미분을 포함하며, “현재 상태로부터 미래 진화”를 결정한다.
• Constraint: 형태 — 시간 미분 없이, 허용되는 초기 조건의 범위를 제한하는 대수적 조건이다.

Hamiltonian action:

에서 는 시간 미분 없이 action에 등장한다. 따라서 로 변분하면 가 끼어들 여지가 없고, 결과가 이라는 순수한 대수적 조건으로 나온다. 이것이 constraint이다.

는 Lagrange 승수(Lagrange multiplier) 역할을 한다. 홀로노믹 구속조건 을 action에 로 더했을 때 로 변분하면 이 constraint로 나오는 것과 완전히 같은 구조이다.

구분	형태	역할
EOM	,	시간 진화를 결정
Constraint	(미분 없음)	허용된 초기조건의 범위를 제한

따라서 “모든 EOM이 constraint인가?”라는 의문의 답은 아니다. Constraint는 EOM 중에서도 시간 미분을 포함하지 않는 특별한 경우이며, 게이지 이론에서는 Lagrange 승수 역할을 하는 변수( 등)가 항상 이것을 만들어낸다.

이것이 바로 Gauge theory이다.

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Dirac constraint formalism

Hamiltonian에서 gauge theorem의 일반화.

( 가 약한 constraint, 는 effective Hamiltonian)

이러면 Hamilton 방정식은:

Constraint의 consistency condition ( 이 시간에 대해 보존되어야 함):

6개 constraint가 있을 때의 equation of motion.

두 가지 케이스

① None-gauge theorem — Dirac 2nd class constraint

만약 가 invertible이라면:

② Gauge theories — Dirac 1st class constraint

운동 방정식에서:

이 경우:

, 이 성립. 와 는 상수.

Gauge transformation:

이고, 이 시간의 generator. 그래서:

액션이 와 에 invariant 하다는 것을 보이면:

정리하면:

이이 된다고 한다.

궁금한 내용

• 라는 표현이 Moyal product와 어떻게 연결되는지?
• 와 가 보존량이면 도 보존량이라는 것의 물리적 의미
• LRL 벡터의 , 계산 (직접 해보기)
• Scalar QED 모델에서 와 의 물리적 의미 — 왜 이런 Lagrangian 형태가 나오는지
• SO(3) → SO(4) 승격의 의미

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

AM lecture note - Hamiltonian mechanics

References

A short review on Noether’s theorems, gauge symmetries-part-4.pdf

다음 강의

AM lecture note - Constrained systems examples

필기 원본

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