Casimir Invariant란?
그룹의 모든 generator와 commute하는 연산자다.
갈릴레이 그룹의 경우, 모든 generator
인
물리적으로는 모든 관성계에서 같은 값을 갖는 양이다. 어떤 갈릴레이 변환을 해도 변하지 않으므로, 입자를 분류하는 내재적 속성이 된다.
어떻게 찾는가?
Generator들 사이의 Lie bracket (commutation relation) 을 먼저 구한다. 그런 다음 이 commutation relation을 만족하면서 모든 generator와 commute하는 조합을 찾는다.
갈릴레이 그룹의 commutation relation:
나머지는 0.
갈릴레이 그룹의 Casimir Invariants
Casimir invariants in Gal(3):
각각의 물리적 의미
-
(질량): 가장 단순한 Casimir invariant. 부스트, 회전 어떤 변환을 해도 질량은 변하지 않는다.
→ 관성의 법칙과 직결. 어떤 관성계에서 봐도 같은 입자라는 것 = 외력이 없으면 운동 상태가 유지된다는 것.이 보존된다는 구조 자체가 관성을 정의한다. -
(내부 에너지): 는 전체 에너지, 은 질량중심의 운동에너지. 이 둘의 차이가 부스트에 불변인 내부 에너지다.
→ 작용반작용보다는 운동량 보존과 대응.가 에너지 형태를 로 강제하는 것이고, 작용반작용(운동량 보존)은 translation generator 가 닫힌 계에서 보존된다는 사실에서 나온다. -
(스핀): 궤도 각운동량에서 질량중심 운동의 기여분을 뺀 것. 즉 내재적 회전. -
: 스핀의 크기 제곱.
왜 이게 뉴턴 운동방정식인가?
시각의 전환
보통은 이렇게 생각한다:
뉴턴이
를 발견했다 → 그 방정식이 갈릴레이 대칭성을 만족한다
하지만 대칭성 관점에서는 방향이 반대다:
갈릴레이 대칭성을 요구한다 → Casimir invariants가
임이 결정된다 → 이 구조가 “질량을 가진 입자”를 정의한다 → 가 나온다
어떻게 운동방정식이 나오는가
형태여야 함을 강제한다. 이건 뉴턴 역학의 운동에너지 공식이 발견된 게 아니라 갈릴레이 대칭성으로부터 유일하게 결정된다는 뜻이다.
여기서 해밀턴 방정식을 쓰면:
즉
결론
Casimir invariant들이 입자를 분류한다.
“질량
왜 모든 generator와 commute하면 변환에 불변인가?
Generator와 변환의 관계
변환
따라서:
갈릴레이 그룹의 임의의 변환은 모든 generator의 조합으로 만들어지므로,
고전역학에서는?
고전역학에서 commutator의 역할은 Poisson bracket이 한다:
보존량 조건도 대응된다:
샌드위치 연산
이건 그냥 선형대수의 기저 변환이다.
기저를
(유니터리 행렬은
| 맥락 | 의미 |
|---|---|
| 기댓값 보존 | 상태를 변환해도 측정 결과가 같다 |
| 연산자 불변성 | 기저를 바꿔도 연산자 표현이 같다 |
궁금한 내용
연관 학습 노트
AM lecture notes - Galilean transformation
AM lecture notes - Transformation of equation, Casimir Invariants
Poisson_Brackets
양자역학에서
”해밀토니안이 어떤 대칭성에 불변이면, 그 대칭성의 생성자가 보존량이 된다”
라는 걸 배웠다. 이때 commutator를 유용하게 사용함.
Symmetry_Conservation_Laws_Three_Step_Proof