강의 필기
이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
AM lecture notes - Galilean transformation
오늘의 핵심
정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
필기 내용
지난 강의에 이어서 Galilean fransformation을 다룬다.
Boost Generator
지난 강의의 notation하고 달라진 부분.
Boost generator로
위 transform matrix를 쉽게 외우는 방법.
ㄱ자 방향으로 기호를 읽어서 Ruas 루아스라고 읽으면 된다.
순서대로 totation, boost veolity, spatial translation, tima translation의 변수이다.
이렇게 transform 되는 것을 관성계라고 한다.
다른 언급: 물리에서 모든 것은 transformation property로 정의된다.
스칼라, 벡터, 수도 벡터도 이렇게 정의했지…
이걸
포텐셜만 transform에 의해 변하지 않는다면, 뉴턴 운동방정식은 Galilean transformation에 대해 불변이다. 왜 위 식이 성립하는지는 아래에서 따로 자세히 계산했다.
글리아와 논의 (2026-02-26)
이렇게를 대입하는 건 맞다. 그리고 원래 식과 같은 형태가 나오는 것 자체가 갈릴레이 대칭성의 의미다 — 변환 후에도 운동방정식의 형태가 보존된다. 단,
가 되려면 퍼텐셜이 갈릴레이 변환에 불변이어야 한다. 이건 항상 성립하진 않는다. 아래에 나오는 스칼라 함수
에 operator 를 작용시키는 것과는 다른 층위의 이야기다:
- 운동방정식에 좌표 대입 → 물리 법칙의 불변성 확인 (물리적 내용)
- 함수에 operator
작용 → 그 대칭성을 함수 공간에서 수학적으로 표현하는 방법 (표현론의 세팅) 같은 대칭성을 다루지만 접근하는 층위가 다르다.
어떤 스칼라 함수
⚠️ notation 주의 (글리아와 논의, 2026-02-26)
수업 들을 때 위 식을 판서하는 동안 맥락을 놓쳐버렸다.
아마도 active transform하고 passive transform에 대해 설명하던 중 이었던 것 같다.위 식은 표기가 부정확하다. 혼란스러웠다.
좌변과 우변이 같은에 다른 인자를 넣은 것처럼 보이는데, 그러면 가 되어야 해서 말이 안 된다. 정확하게 쓰면:
는 를 변환된 좌표에 직접 대입한 것 는 operator 를 원래 좌표에서 평가한 것, 즉 두 식을 제대로 구분하면:
이 둘은 다른 식이다.
Operator가 함수 공간에 작용할 때의 표준 정의는이며, 이렇게 해야 그룹 구조(연속 적용 시 순서)가 보존된다.
각 변수에 대응되는 generator 표현:
이 식은 determinant로 쉽게 나타낼 수 있다.
Casimir Invariants
갈릴레이 변환과 로렌츠 변환의 차이는 시간과 공간의 독립성 여부이다.
변환에 불변하는 걸 Casimir invariant라고 한다.
Transform이 만드는 모든 generator에 대해 commute하는 연산자.
이건
Casimir invariants in Gal(3):
이것이 뉴턴의 운동방정식이다.
자세한 내용은 별도 노트에.
Casimir Invariants
예시: 갈릴레이 변환을 하면 무슨 일이?
수업 중 다룬 예시시
1차원 Maxwell equation → wave equation:
Boost 변환:
(모든 프라임이 붙은 연산자에 대해서)
대입하면:
general solution:
변환된 좌표의 solution:
이것을 보면 파동의 속도가 변한 것을 알 수 있다.
이걸 빛에 적용하면 빛의 속도가 바뀌어야 하는데? 그렇지 않게 만드는 게 로렌츠 변환이다.
1D Boost Transform이 적용되었을 때 불변인 방정식과 아닌 방정식
수업 내용 외, 직접 풀어봤다.
Boost 변환:
편미분 연산자 변환 (연쇄법칙):
열방정식에 적용:
Additional term
열방정식은 갈릴레이 불변이 아니다.
Free space 뉴턴 방정식에 적용:
전개하면:
각 항이 사라지는 이유:
, → 가 상수이므로 → 을 으로 미분하면 1, 이를 다시 으로 미분하면 0
따라서:
원래 식과 형태가 완전히 같다. 뉴턴 방정식은 갈릴레이 불변이다.
다시 수업 내용으로 돌아와서
AM lecture note - Lagrangian mechanics
궁금한 내용
’p orbital은 SO(3) group에 irreducible하다. ‘의 의미? Irreducible이 뭐지?
AI의 보충 설명
연관 학습 노트
라그랑지안과 해밀토니안의 르장드르 변환 관계
Lagrangian Mechanics
Casimir Invariants
References
Tong의 Lecture note
1 Newton’s Laws of Motion.pdf