Unitary transformation

Similarity Transformation and Basis Change

Overview

양자역학에서 유니타리 연산자 ()를 이용해 observable 를 새로운 기저(basis)에서 다시 표현하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 혹은 유니타리 변환(unitary transformation) 이라 한다.

양자역학뿐만 아니라 그냥 선형대수학에서도 적용되는 특성이다.

변환의 방향(능동/수동)에 따라 샌드위치의 순서가 달라진다:

• 능동 변환 (active): 상태를 로 변환 → → operator는
• 수동 변환 (passive / 기저 변환): 행렬 원소 관점에서 새 기저로의 변환 →

이 문서에서는 시간에 대해 변하지 않는 를 가정한다.

Key Points

• 기댓값 보존 조건: 물리적 기댓값은 기저 선택에 무관해야 한다.

• 샌드위치 구조의 필연성: 상태가 으로 변환될 때, 기댓값 보존을 위해 operator는 로 변환되어야 한다.

• 유니타리 조건: 이면 변환이 내적(inner product)을 보존한다. 즉 확률 해석이 유지된다.

예시: 스핀의 회전

축 스핀 측정 연산자를 축 기준 90° 회전으로 변환하면 축 스핀 측정 연산자가 된다.

축 90° 회전 연산자:

변환 결과:

물리적으로는 동일한 실험이지만, 기준 방향이 바뀐 것이다.

대각화와 연결

어떤 행렬을 자기 자신의 eigen vector로 이루어진 basis로 나타낸다면?
Eigenvector들의 orthogonality로 인해 변환된 행렬은 대각 성분만 가지게 된다.
이것이 바로 대각화다.

Eigen value의 유지

Questions & Insights

• 가 유니타리가 아닌 경우(예: non-Hermitian 계)에도 similarity transformation의 의미가 유지될까? → 기댓값 보존이 깨지므로 물리적 해석이 달라진다.
• 해밀토니안의 시간 발전 연산자 도 유니타리이므로, 시간에 따른 연산자 변환(Heisenberg picture)이 형태임은 자연스럽다.

Related Concepts

• AM lecture notes - Galilean transformation

References

Notes from Claude

구조(수동 변환)가 similarity transformation의 표준 convention이다. 상태가 로 변환될 때 operator는 로 변환되어야 기댓값이 보존된다. 는 능동 변환(active transformation)에 해당하며, 두 convention 모두 문헌에서 사용되므로 혼동하지 않도록 주의할 것.