강의 필기
이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
AM lecture note - Constrained systems examples
오늘의 핵심
- Polyakov action: 상대론적 입자의 Nambu-Goto action을 constraint를 통해 이차형식으로 재표현 — einbein
를 Lagrange 승수로 도입 - Landau problem: 강한 균일 자기장 속 2D 입자 — 고속도 한계에서 운동량이 constraint가 되는 2nd class constraint system
- Dirac bracket: 2nd class constraint를 풀지 않고 constraint surface 위에서 올바른 시간 진화를 기술하는 수정된 Poisson bracket
- 양자화 연결: Dirac bracket을 Lie bracket으로 바꾸면 양자역학이 된다
필기 내용
상대론적 자유 입자 (복습 및 Polyakov action)
배경
스핀이 없는 상대론적 자유 입자.
는 시공간에서의 미소 길이, 는 Minkowski metric.
Nambu-Goto 형태의 action
Minkowski metric:
시간 성분에
궁금한 내용
갈릴레이 공간에서는 metric이
이 된다고 했는데, 이게 맞나? 아닌 거 같은데…
정준 운동량과 constraint
모든
이 성립함을 알 수 있다. 이것이 constraint인 것,
이래서 invert가 불가능하고, 바로 Hamiltonian을 찾는 게 힘들다.
궁금한 내용
Invert가 안 된다는 게 무슨 말이지지
그래서 우리는 다른 표현 방식의 라그랑지만이 필요하다.
Polyakov action
라그랑지안을 다르게 표현. einbein
첫 번째 질문
첫 식에는 라그랑지안 안에 명시적인 constraint가 없었는데, 해밀토니안으로 바꾸려고 하니까 constraint가 생기는가?
Polyakov action의 변분:
위의 식을 대입하면:
역시
이를 다시 대입하면 Nambu-Goto action을 복원한다.
Polyakov에서 Hamiltonian
이제 Hamiltonian을 구할 수 있다.
Hamiltonian은
아마 이 constraint 항은 속도가 광속을 넘지 못한다는 제한 같다.
왜 constraint 없는
시간에 대한 generator가 없다는 뜻이라고 한다.
time translator가 없다. 이미 시간을 시공간 안의 하나의 축으로 넣었기 때문이라고 하는데???
아니 위상공간에서 축이 있으면 한 축을 이루는 변수에 대한 translator는 당연히 있어야 하는 거 아닌가? 정의될 수 있는 거 아닌다.
디락의 첫번째 constraint type이라면 그 이론은 게이지 이론이라 부른다.
궁금한 내용
계산하는 거 대체 무슨 논리인지 모르겠다.
예)으로 계산되지?
이 Hamiltonian인데, 지금 Hamiltonian은 무엇에 대한 generator지? 에 대한?
궁금한 내용 (계속)
잠깐, 여기서
가 뭐기? 시공간 전체에 정의되는 건가?
만약 그렇다면, 시간 흐름을 광속에 가깝게 변환하는 게 제한 없을 텐데?
상대론 파트 들어오고 나서 모든 게 헷갈리기 시작.
아니로 적분해서 액션 구하면 Hamiltonian은 에 대한 generator가 되어야 하지 않나?
Landau problem: 강한 자기장 속 2D 입자
조건 설정
라그랑지안.
미지의 변수보다 방정식이 더 적을 때, 답은 어떻게 정해야 하는가?
2차원에서 풀어보자:
운동방정식 (Euler-Lagrange)
강한 자기장 극한:
가속도 항을 무시해 버린다:
그냥 커플링된 미분방정식.
이건 양자화 해보자. 이 식의 크기를 작게 만든다는 게 수학적으로 뭔가?
Hamiltonian 구하기
운동하는데 속도 항이 없이!
이건 속도항을 운동량으로 식을 대체할 수 있다.
이건 경우, 운동량은 constraint를 만든다.
2nd Class Constraint와 Dirac Bracket
Constraint 설정
Effective Hamiltonian
constraint는 시간이 지나도 보존이므로:
푸아송 괄호의 기본 성질을 이용해 계산하라:
라그랑주 승수가 field를 만든다:
해밀톤 방정식론 검증:
왜 속도가 라그랑주 승수로 나오는 거는 거지!
Dirac Bracket
2nd class에서는
아무 변수 z에 대해, 이것의 시간 미분은 이렇게 구할 수있다.
방금 구한
핵심 아이디어
디락 괄호는
라고 쓰고, 푸아송 괄호는 으로 라고 쓰겠다.
디락 괄호의 정의는 이거다.
아까 본 예제에서는:
Dirac 괄호는 constraint를 풀지 않아도 된다. 그래서 진짜 degree of freedom에 대해 풀 수 있다.
Dirac 괄호를 Lie bracket으로 바꾸면 그게 양자화이다.
양자화와의 연결
궁금한 내용
변분 계산에서 계산의 논리적 구조 - 여기서
가 뭐기? 시공간 전체에 정의되는 건가? 상대론에서 Hamiltonian은 에 대한 generator인가, 아닌가? - 강한 자기장 극한에서 속도가 라그랑주 승수로 나오는 이유 — 물리적으로 어떻게 이해할 것인가?
를 양자화할 때 왜 가 안 붙는가?
AI의 보충 설명
Glia의 보충 (2026-03-24): 갈릴레이 공간의 metric
엄밀히 말하면
은 아니야. 갈릴레이 시공간에는 단일한 4차원 metric이 없어 — 시간과 공간이 독립적으로 각각 , 으로 측정되고, 둘을 합치는 단일 계량이 정의되지 않아.
는 유클리드 4차원 공간의 계량으로, 상대론적 맥락에서는 Euclidean signature (시간을 허수로 Wick rotation했을 때)를 의미해.
Glia의 보충 (2026-03-24): Invert가 안 된다는 의미
에서 를 의 함수로 역산하려고 하면 막힌다는 뜻이야. Legendre 변환의 핵심은
를 뒤집어 를 구하는 건데, 이라는 조건이 4개의 사이의 관계를 묶어버려. 즉 자유도가 4개인 것 같지만 실제로는 3개야. Jacobian 의 행렬식이 0이 되어 역함수가 없어지고, Hamiltonian을 직접 구할 수 없게 된다.
Glia의 보충 (2026-03-24):
와 의 이유 핵심은
자체가 물리적인 시간이 아니라는 것이야. 상대론적 입자에서 는 경로를 parametrize하는 편의상의 매개변수이고, 는 전부 동등한 좌표로 다뤄져. 그래서
로 자유롭게 재정의해도 물리가 바뀌지 않는 대칭(reparametrization invariance)이 있어. 이 대칭이 바로 Dirac 1st class constraint를 만들고, 이 되는 이유야. “위상공간에 축이 있으면 그 generator가 있어야 하지 않냐”는 직관은 맞지만, 이 경우엔
가 위상공간의 좌표로 들어가 있어 — 즉 외부의 절대 시간이 사라진 것이야. generator가 없는 게 아니라, 에 대한 generator가 이고, constraint surface 위에서 이것이 0이 되는 거야.
Glia의 보충 (2026-03-24): 속도가 라그랑주 승수로 나오는 이유
Landau problem 극한에서는 운동량
가 속도 를 완전히 잃어버리고 위치 만의 함수가 되어버려. 그러면 를 계산했을 때 결과가 자연스럽게 과 같아지는 거야. 물리적으로는: 강한 자기장 극한에서 입자는 가속되지 못하고 등속 드리프트만 한다 (Hall drift). 가속도가 0인 극한에서 입자의 속도는 전적으로 외부 퍼텐셜
의 기울기로만 결정되고, 이것이 라그랑주 승수 로 나타나는 거야.
연관 학습 노트
References
David Tong, Classical Dynamics lecture notes
다음 강의
AM lecture note - Liouville theorem and Canonical transformation
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