QM lecture note - Position, Momentum, and Generators

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Position, Momentum, and Translation

오늘의 핵심

Momentum operator를 position basis에서 나타내면 디락델타와 공간 미분이 나온다.
유도는 momentum operator가 position transition operator라는 점에서 시작한다.
더 쉬운 유도법이 이 노트에 있다. QM mini note - Generator as Differential Operator

이것이 모든 유도의 시작점.

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Position basis에서 momentum basis로 옮기는 unitary transformation operator

를 momentum basis에서 나타내면 이렇게 된다.

Position basis에서 연산을 수행할 때, transformation function으로 의 값을 사용하면 되는 것이다.

이걸 유도할 수 있어야 한다. Normalization까지 같이.

에서 로 변환하는 데에 왜 가 필요한지는 간단하게 알 수 있다.

을 적분 형태(혹은 summation) 형태로 끼워넣는 스킬이 얼마나 중요한지 알 수 있는 부분.

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필기 내용

Motivation: 해석역학의 Canonical Transformation과 Generator

Translation operator의 무한소 형태:

는 anti-Hermitian이어야 하고, 대응하는 observable 에 대해 .

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Canonical Transformation 복습

모르는 것 투성이였다. 아래 노트를 참고하자.
Canonical Transformation and Symplectic Structure
사쿠라이 책 이외의 내용이므로, 양자 시험에 이 내용 자체가 나오진 않을 것이다.

해밀턴 역학에서 운동 방정식:

Canonical transformation은 Poisson bracket 구조를 보존하는 변환이다:

로 변환해도 동일한 관계가 성립:

Canonical transformation이라면 equation of motion이 바뀌지 않는다.

작용(Action)으로 보면:

로 나타내도 가 변하지 않는다.

변환을 해도 시간에 대한 전미분 항 만 추가될 뿐.

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Generating Function

Generator는 로의 전환을 만든다. 네 가지 generating function이 생각된다:

→ 무슨 취지로 이 네 가지 generating function을 생각하는 거지?
→ 원하는 변환을 얻고싶다면 gernerating function을 어떻게 설정해야 하는가?

가장 많이 쓰이는 형태인 를 선택하면,

이로부터:

→ 왜 generation function이 이 식을 성립한다고 가정하는 거지?

→ 이것 또한 왜 성립하지?

예시: 이면 identity transformation이다.

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Infinitesimal Canonical Transformation

는 변환에 대한 generator.
에서 미소 변화를 주면:

이로부터:

따라서 변환량:

임의의 함수 에 대해:

왜냐하면 아래가 성립하기 때문이다.

이게 왜 성립하죠? 해석역학에서 유도법을 배운 적 없는 거 같은데...

Glia 왈..

Hamilton 방정식을 봐:

시간 만큼의 변화는:

즉 시간 발전은 를 generator로 하는 변환이야.

“시간”이 아닌 임의의 파라미터 으로 위상공간을 흘려보내는 변환을 정의하고 싶어. 그 변환을 생성하는 함수를 라고 하면, Hamilton 방정식의 구조를 그대로 빌려와서:

라고 정의한다. 그러면 infinitesimal 변환은:

자세한 건 심플래틱 기하학을 통해 이야기해야 한다면서, 일단은 정의라고 치고 넘어가라고 한다.

예시: Infinitesimal space translation

, 이면:
space translation을 일으키는 generator는

공간 평행이동의 generator는 운동량 이다.

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Position Basis에서 Momentum Operator

양자역학으로 돌아와서, space translation operator는

비교하면 generator 사이 관계를 얻는다:

Momentum Operator의 Matrix Element (x-basis)

유도: 를 두 가지 방법으로 전개해서 비교한다.
이 부분은 QM mini note - Generator as Differential Operator에서 더 간단히 증명했다.

방법 1 — 의 정의로부터:

방법 2 — 로부터:

두 식을 같다고 놓으면:

양변에서 를 나누고, 을 왼쪽에서 곱하면:

으로 놓으면:

운동량 연산자를 서로 다른 상태에 샌드위치한 결과를 position basis에서 계산하면 이렇게 된다.

또한 이라면,

즉, position space에서 운동량 연산자는 미분 연산자로 작용한다:

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Finite Translation과 Momentum Eigenstate

Finite Translation Operator

만큼 옮기는 translation을 만큼 N번 옮기는 과정으로 나타내보자.
을 무한대로 보내면, 자연스럽게 자연상수가 나온다.

지금까지 infinitesimal translation을 exponential로 나타내는 게 그냥 테일러 전개의 결인 줄알았다.
이것은더 정확한 방식으로 exponential 표현을 정당화한다.
곱하기와 더하기 연산을 이어주는 것은 로그나 지수함수밖에 없으므로.

Translation Operator의 Commutativity

어떤 변환을 어떤 순서로 해도 결과가 같기 위해서는 translation operator들 끼리 서로로 commute해야 한다 —이는 generator가 commute할 때 가능하다:

그들의 generator들이 commute하는 translation의 group을 Abelian이라 한다.

보존량과 gernerator

운동량 보존 → space translation을 momentum eigenket에 작용해도 변하지 않는다:

더 일반화하면, gernerator는 곧 자기 자신을 나타내는 물리량을 보존하는 translation을 만든다.

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Poisson Bracket → Commutator 대응

고전역학의 Poisson bracket을 commutator로 바꾸면 양자화된다:

Poisson bracket이 가지는 성질들은 commutator 또한 가진다.

이걸 알아두면 푸아송 괄호를 계산하기 귀찮을 때는 commutator를 계산하고, 그 반대의 상황에도 적용하는 등 꼼수를 부릴 수 있다.

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Momentum Space

이제 함수를 momentum space에서 보자.

을 으로 바꾸어 볼 수 있다.

Unitary Transformation: x-basis ↔ p-basis

이게 transformation function 역할을 한다.
Position basis에서 연산을 수행할 때, transformation function으로 의 값을 사용하면 되는 것이다.

결정

를 이용해서,
, 운동량에 대한 한 eigenket이라 하면

에 대한 미분 방정식을 풀면:

정규화 상수 을 결정하기 위해:

이때, 를 이용한다. 디락델타 앞에 가 나오는 게 핵심이다.

Wave Function과 Fourier Transform

즉, position space wave function과 momentum space wave function은 서로 Fourier transform 관계이다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• Canonical Transformation and Symplectic Structure
• AM lecture note - Hamiltonian mechanics

References

다음 강의

QM lecture note - Gaussian Wave Packet

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