QM mini note - Generator as Differential Operator

강의 필기 보충 노트

이것은 Quantum Mechanics 강의 관련 손 필기를 정리한 보충 노트입니다.
QM lecture note - Position, Momentum, and Translation 및 QM lecture note - Position, Momentum, and Generators의 핵심 유도를 복습·정리한 내용입니다.

오늘의 핵심

• Translation operator 에서, generator 가 위치 에 대한 미분 연산자임을 position space에서 직접 보일 수 있다.
• 를 두 가지 방법으로 전개해 비교하면 가 나온다.
• 이므로 이다.
• 추가로, 임을 완전성 관계를 이용해 직접 증명할 수 있다.

필기 내용

Generator 가 미분 연산자임을 유도

설정: Hermitian operator 에 대해 position translation operator가

로 주어진다. 가 에 대한 미분 연산자임을 보이기 위해, 임의의 ket 에 대해 를 두 가지 방법으로 계산한다.

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방법 ① — 를 직접 대입:

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방법 ② — 의 정의 를 이용:

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두 결과를 같다고 놓으면:

양변을 로 나누면:

따라서:

그리고 translation operator는 position space에서:

순서 주의

방법 ②에서 를 사용했다. 이는 translation operator가 unitary하다는 성질에서 비롯된다 — unitary operator는 이고, 의 역변환은 반대 방향으로의 translation인 이다. 이 사실의 독립적인 증명은 아래 섹션 참고.

와의 관계

이므로 momentum operator는 position space에서 아래와 같이 작용한다:

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추가: 직접 증명

위의 유도에서 방법 ②를 쓸 때 이 성질을 사용했다. 직접 증명해보자.

Translation operator의 적분 표현:

이를 Hermitian conjugate하면:

변수 치환 (즉 )을 하면:

이것은 정확히 의 정의이다:

연관 학습 노트

• QM lecture note - Position, Momentum, and Translation
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필기 원본 이미지