강의 필기 보충 노트

이것은 Quantum Mechanics 강의 관련 손 필기를 정리한 보충 노트입니다.
QM lecture note - Position, Momentum, and Generators의 내용을 바탕으로 합니다.

핵심

Translation operator를 generator의 eigenket을 basis로 써서 matrix로 나타낼 수 있다.
Time-evolution operator를 energy eigenket basis로 전개하면 대각행렬이 되는 것과 같은 구조다.
Position translation operator 를 momentum basis로 전개하면, 의 eigenvalue 에 대한 위상 인자 가 대각 원소로 나온다.
이 표현으로 를 계산하면 가 정확히 나와 일관성을 검증할 수 있다.

필기 내용

Time-evolution operator의 경우, energy eigenket 으로 나타내면 대각행렬이 되어 유용하다.

완전성 관계 $𝟙$ 을 두 번 삽입하면:

이므로:

generator인 의 eigenket basis에서 대각화된 형태이다.

의 유한 형태:

완전성 관계 $𝟙$ 을 두 번 삽입하면:

이므로:

generator인 의 eigenket basis에서 대각화된 형태 — (1)과 완전히 같은 구조다.