QM lecture note - Time Evolution Operator

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Gaussian Wave Packet

오늘의 핵심

Time evolution operator 는 세 가지 특성(Unitarity, Composition, Identity)으로부터 Schrödinger 방정식을 유도한다.

특히, Composition 성질에 따라:

에너지 고유상태는 시간이 지나도 phase만 바뀌며, 일반 상태의 time evolution은 에너지 eigenbasis로 전개하여 기술한다.

Energy eigenket은 시간이 지나도 phase만 바뀐다. (Stationary state)

필기 내용

Time Evolution Operator 도입

에서 의 상태를 이라 하고, 에서의 상태를 이라 표기한다.

Time evolution operator 는 시점의 상태를 시점의 상태로 mapping하는 함수, 혹은 상태를 미래의 상태로 만드는 operator이다.

---

Time Evolution Operator의 세 가지 특성

(i) Unitarity

Probability conservation에 의해 요구된다.

이 normalized 되어 있어 이라면, 또한 1로 normalized 되어야 한다.

시간에 따라 변화하는 expectation value를 고려해도 의 Unitary 특성은 의미심장하다.

이것은 의 eigenvalue 는 변하지 않았지만, 를 basis로 나타낼 때 계수가 변하였다는 뜻이다.

한편, time evolution을 에게 적용하는 게 아니라 에 적용하는 것 또한 가능하다.

이때 는 의 eigenvalue. 는 의 Unitary transform이므로 eigenvalue는 동일하다.

가 Unitary가 아니라면, 서로 다른 시간의 observable이 다른 eigenvalue를 가지게 되어 이건 말이 안 된다.

---

(ii) Composition

evolution하고 evolution한 결과는 evolution과 동일해야 한다.

---

(iii) Identity

0초 동안 time evolution하면, 변환 전후의 차이가 없어야 한다.

---

Schrödinger 방정식 유도

또한 generator를 가진다. generator를 라 부르면:

가 무엇인지는 고전역학의 개념을 이용한다. 해석역학에서 임을 알고 있다.

이를 양자화하면 , 따라서:

Composition 성질에 따라:

generator가 결국은 미분 연산자라는 걸 유도하는 이 논리는,
앞서 위치와 운동량에서 사용한 것과 완전 동일하다.

양자에서는 인 것. 위 식 양변에 을 곱하면:

이것이 Schrödinger 방정식이다.

---

Energy Eigenstate와 Stationary State

에너지 eigenket에 대해 이라 하면 ().

이므로,

이것은 에 대한 간단한 미방이다. 해는:

Energy eigenket은 시간이 지나도 phase만 바뀐다. (Stationary state)
Phase가 바뀌는 진동수는 eigen ket의 eigen value와 비례한다.
더 큰 에너지일 수록 phas가 빠르게 돌아간다.

---

일반 상태의 Time Evolution

Energy eigenket을 basis로 사용하여 time evolution을 모든 ket에 대해 일반화해 보자.

서로 다른 energy eigenket들의 phase 변화가 제각각 다르다.

Observable을 다른 energy eigenket 사이에 샌드위치하면:

즉 에너지의 차이에 따른 진동수로 phase가 바뀐다.

---

케이스에 따른 Schrödinger 방정식 풀기

를 어떻게 푸는가?

Case 1: 가 시간에 대해 독립적일 때

이것은 Composition property와도 부합한다. 더 정확히는:

Case 2: 가 시간에 의존하지만 for 일 때

이것을 테일러 전개해서 표현한다면,

Case 3: 가 시간에 의존하고 일 때

적분할 때 의 서로 다른 시간 순서가 절대 바뀌면 안 된다.

Case 2의 급수 전개에서 각 항들이 시간 순서에 따른 의 순서를 고려하는 적분으로 바뀌어야 한다.

부터 대입하면서 차례로 비교하면:

적분 변수로 부터 까지 사용하는 게 핵심.
가능하면 인덱스 사용을 교과서랑 맞춰야 안 헷갈리지 않을까…

\documentclass[tikz,border=10pt]{standalone}
\usepackage{kotex}
 
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=stealth, thick]
 
    % 설정값 수정
    \def\n{6} % 층수
    \def\stepY{1.56} % 기존 1.2에서 30% 확장 (1.2 * 1.3 = 1.56)
    \def\widthX{8} % 전체 가로 길이
    
    \foreach \i in {1,...,\n} {
        \pgfmathsetmacro{\currentY}{-(\i-1)*\stepY}
        \pgfmathsetmacro{\startX}{(\i-1)*1.2}
        \def\endX{\widthX}
        
        % 메인 시간축
        \draw (\startX, \currentY) -- (\endX, \currentY);
        
        % 양 끝 세로 바
        \draw (\startX, \currentY+0.2) -- (\startX, \currentY-0.2);
        \draw (\endX, \currentY+0.2) -- (\endX, \currentY-0.2);
        
        % 왼쪽 라벨
        \ifnum\i=1
            \node[above] at (\startX, \currentY+0.1) {$t$};
        \else
            \pgfmathsetmacro{\prevI}{int(\i-1)}
            \node[above] at (\startX, \currentY+0.1) {$t_{\prevI}$};
        \fi
        
        % 오른쪽 라벨
        \node[above] at (\endX, \currentY+0.1) {$t_0$};
        
        % 구간 내 포인트 t_i 표시
        \ifnum\i<\n
            \pgfmathsetmacro{\pointX}{\startX + 1.2}
            \draw (\pointX, \currentY+0.1) -- (\pointX, \currentY-0.1);
            \node[below] at (\pointX, \currentY-0.1) {$t_{\i}$};
            
            % 다음 층 가이드 점선
            \draw[dashed, gray!60] (\pointX, \currentY) -- (\pointX, \currentY-\stepY+0.2);
        \fi
        
        % "영역" 표시 (화살표 제거, 단순 곡선으로 변경)
        \draw (\startX+0.2, \currentY+0.5) to[bend left=12] node[above, yshift=2pt] {$t_{\i}$의 영역} (\endX-0.2, \currentY+0.5);
    }
    
    % 마지막 말줄임표 위치 조정
    \node at (\widthX-1, -{\n*\stepY*0.9}) {$\vdots$};
 
\end{tikzpicture}
\end{document}

의 경우,
은 부터 까지 적분하면서 연속적으로 정분한다. 는 부터 까지만 적분하여 가 항상 보다 왼쪽에 오도록 한다.

표의 왼쪽과 오른쪽을 잘 비교하면, 오른쪽의 적분하는 식에서 만약 commute 조건이 보장될 경우 왼쪽 식과 같아짐을 쉽게(?) 알 수 있다.

까지 모든 에 대해 적분 값을 더하면:

이것을 Dyson series라고 한다.

---

Energy-Time Uncertainty

Position-momentum uncertainty와는 다르게, 시간은 관측량이 아니기 때문에 좀 다르게 접근해야 한다.

결과와 시간과 에너지 분포 사이의 관계를 보자.

어떤 상태 가 시간이 지난 뒤에, 처음의 자신과 얼마나 많이 닮아 있는가? Correlation amplitude를 이렇게 정의하자:

가 시간 뒤에도 로 남아 있을 확률은:

앞서 를 에너지의 eigenket으로 나타냈다:

에너지 레벨이 연속적으로 분포하고 있다고 가정하면, summation을 integral로 나타낼 수 있다. 가 density of energy eigenket이고, 의 역할을 가 대신할 때:

에너지 분포가 에 집중되어 있다고 치자. 일 때,

이상의 order로 시간이 바뀌면 phase가 빠르게 돌아가는 상태.

즉, 이상의 시간이 지나면 원래의 형태를 잃어버리기 시작한다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

다음 강의

QM lecture note - Heisenberg Picture and Equations of Motion

원본 필기 이미지