강의 필기
이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
QM lecture note - Time Evolution Operator
오늘의 핵심
슈뢰딩거 묘사는 time evolution에 대한 active transform, 하이젠베르트 묘사는 passive transform이다.
고전역학에서는 어떤 물리량의 시간 미분을 해밀토니안과의 푸아송 괄호호로 구했었다.
Poisson bracket을 Lie bracket으로 바꾸는 게 바로 양자화였다.
필기 내용
슈뢰딩거 묘사 vs 하이젠베르크 묘사
Time evolution이 unitary operator라는 점을 이용한다.
원래 슈뢰딩거의 세계관에서는,
basis와 operator는 절대 변하지 않는 양이지만, 개별 상태를 나타내는 ket들은 시간이 지남에 따라 변화하였다.
아래 식 처럼
미래를 나타내는 방법을 다른 방식으로 바꿀 수 있다.
지금부터 이야기하는 Schrödinger picture 과 Heisenberg Picture 의 비교는 active transform VS passive transform 의 차이와 정확히 같다.
두 묘사의 정의:
- 슈뢰딩거 묘사 (Schrödinger Picture): Operator
는 고정, ket이 시간에 따라 진화한다. - 하이젠베르크 묘사 (Heisenberg Picture): ket은 고정, Operator가 시간에 따라 진화한다.
| 구분 | 묘사 | 무엇이 변하는가 |
|---|---|---|
| Active Transform | 슈뢰딩거 묘사 | 물체(ket)의 위치가 바뀜 |
| Passive Transform | 하이젠베르크 묘사 | 좌표계(base ket)가 바뀜. 연산자(operator)가 바뀜 |
하이젠베르크 묘사에서:
- ket이 시간이 지나도 불변한다.
에서 eigenket을 basis로 ket을 나타냈을 때, coefficient가 불변한다.
두가지 묘사 방식이 동등함을 쉽게 보일 수 있다.
원래
당연하지만, 두 묘사는
Expectation value는 두 묘사를 써도 같다.
즉 실제 물리 현상으로 발현되는 값을 어느 모사를 써도 똑같이 예측할 수 있다는 뜻이다.
Heisenberg Equation of Motion
Hamiltonian의 시간 의존성 (
이를
이것이 Heisenberg의 equation of motion이다.
운동 상수 (Constant of Motion)
가 과 commute하면, 는 constant of motion, 즉 보존량이다.
예시: 위치 연산자의 시간 진화
유용한 commutation relation.
이는
그러나 푸아송 괄호와 commutator 사이 관계를 이용하는 게 더 쉽다.
Hamiltonian이
아까 보인 commutation relation을 사용하면,
마찬가지로:
이는 포아송 괄호로 나타낸 Hamilton 방정식과 동일한 형태이다!
Ehrenfest Theorem
Hamiltonian
고전역학에서 사용하던 운동방정식이 나와버린다.
따라서 하이젠베르크 묘사에서 관계를 완전히 고전 역학과 같게 쓸 수 있다:
Expectation value에 대해서도 마찬가지:
이렇게 시간 미분을
밖으로 뺄 수 있는가? 하이젠베르크 묘사에서 ket은 시간 불변이고 operator만 시간에 따라 변하므로, expectation value를 시간에 대해 미분하면 operator의 시간 미분만 남는다. 따라서 미분 기호를 expectation value 밖으로 꺼낼 수 있다.
Base Ket의 시간 진화
하이젠베르크 묘사에서 base ket이 어떻게 변하는가?
Observable이 시간에 대해 변하므로 (eigenbasis 또한 시간에 따라 달라진다).
증명:
이 성립하므로
두 묘사에서 시간이 진화하는 방향이 반대:
- 슈뢰딩거 묘사에서 ket이 시간 진화하는 것과 반대로
- 하이젠베르크 묘사에서 base ket이 변화한다.
Operator를 eigenket으로 전개하면:
Coefficient는:
궁금한 내용
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References
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