QM lecture note - Simple Harmonic Oscillator

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Heisenberg Picture and Equations of Motion

오늘의 핵심

내림 연산자 (lowering operator)와 올림 연산자 (raising operator):

Heisenberg 묘사를 적용하면,
사다리 연산자 와 의 equation of motion이 uncoupled되어 쉽게 풀린다.
두 연산자는 시간이 지남에 따라 phase만 바뀐다.

사다리 연산자를 이용해 위치 연산자와 운동량 연산자를 쉽게 구할 수 있다.
와 는 고전적인 조화진동자와 동일한 형태를 가진다.

완전히 처음 보는 내용: Baker-Hausdorff Lemma

가 hermitian이고 가 실수일 때:

필기 내용

Hamiltonian과 사다리 연산자

단순조화진동자의 Hamiltonian:

내림 연산자 (lowering operator)와 올림 연산자 (raising operator):

둘은 무차원 연산자.
둘을 유도하는 방법: 해밀토니안을 로 나누어 무차원수로 만든 다음에, 꼴의 식으로 분해하면 된다.

주의

위 유도 과정 중에서 일부러 을 쓴 것을 확인하라.
와 는 commute하지 않으므로, 이 그대로 성립하지 않는다. 실제로는 이고 이다.

Commutation relation:

Number operator :

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Equation of Motion (Heisenberg 묘사)

이 두 equation of motion은 coupling 되어 있어 풀기 어렵다. 대신 사다리 연산자로 바꾸면:

와 에 대한 방정식은 uncoupled이다!
해를 구해 보면,

Number operator의 시간 진화:

이것은 하이젠베르크 보존 관계의 의미이다 — number (에너지)는 시간에 대해 보존된다.

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와 직접 계산

와 를 더하고 빼면 와 에 대해 정리할 수 있다.

두 식을 더하고 빼면 와 를 얻는다.

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Baker-Hausdorff Lemma를 이용한 방법

다른 방법으로, 슈뢰딩거 묘사의 관점에서 직접 풀 수 있다. 가 hermitian이고 가 실수일 때:

이를 적용하면:

필요한 commutation relation:

테일러 전개를 계산하면:

에 대한 항들을 모으면 , 에 대한 항들을 모으면 가 나온다:

이는 고전적인 조화진동자 해와 완전히 동일한 형태이다. (포아송 괄호로 나타낸 등식 그대로!)

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Number Operator의 Eigenket: basis

Commutation Relations

이로부터: 이므로, 은 eigenvalue 인 의 eigenket이다. (표기가 헷갈린다. 은 number operator이고. 은 연산으로 나온 eigen value, 정수이다.)

비슷하게, 이므로, 은 eigen value 인 의 eigen ket이다.
따라서.

Normalization 계수 결정

이라 두면, normalization 조건으로:

같은 방법으로 의 비례상수는 이다.

만약 어떤 ket에 연산자를 연속적으로 적용해서, 끝도 없이 에너지 상태를 내릴 수 있으면 안된다. 어딘가에는 바닥이 필요하다.
맨 처음 상태가 일 때, 를 계속 적용하다 보면 m번째 ket 앞에 이 곱해질 것이다. 언젠가는 이 값이 0이어야 에너지 내림을 멈출 수 있다.
그러므로 은 0 이상의 정수여야 한다.

의 생성

이 어떻게 생겼는지 알고 싶다면, 바닥상태로부터 raising operator를 적용하여 차례로 찾아가면 된다.

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basis에서 , , , 의 행렬 표현

대각선에서 딱 한 끝 벗어난 대각선에 1이 있는 모습.

와 의 행렬 원소:

와 에는 diagonal term이 없다. 따라서 에너지 eigenstate에서 와 는 모두 0이다.

계산

비슷하게:

에너지 중 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 기댓값은 동등하게 나뉜다 (virial theorem):

Uncertainty 확인

최솟값은 ground state에서 로, 불확정성 원리를 등호로 만족한다.

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Wave Function

을 조건으로 구한다.

로 정의하면, 이 방정식의 해:

이거 적분하는 것도 좀 주의할 필요 있겠음.

높은 의 wave function은 올림 연산자를 적용하여 차례로 구할 수 있다:

이를 반복하면 올림 연산자로 을 모두 구할 수 있다.

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Coherent State

동기

고전적인 조화진동자처럼 운동하는 상태가 있는가?
즉, expectation value가 고전적 궤도를 따르면서 uncertainty가 최소인 상태가 있을까?
이를 coherent state 라 부른다.

정의: 의 eigenstate

Coherent state는 내림 연산자 의 eigenstate로 정의한다:

(의 eigenstate는 존재하지 않는다는 점에 주의.)

계산

으로 전개하면,

항등식으로부터 점화식: , 즉

는 normalization으로 결정:

Coherent State의 시간 진화

Coherent state는 의 eigenstate이므로 time evolution에 의해 phase만 바뀌고 eigenvalue만 변화한다:

즉, 는 여전히 coherent state이고, eigenvalue가 로 변한다.

유도:

즉 와 는 서로 phase만 다른 eigen value를 내놓는다.

Expectation Values

Coherent state의 위치와 운동량에 대한 expectation value를 구해보자. 과연 고전적으로 진동할까?

이를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.
이 식을 이용

를 이용하면:

Expectation value가 고전적인 조화진동자 해를 따른다.

와

는 직접 계산하기 힘들다.
의 관계를 이용하자.

복소 켤레 연산에 주의한다.

Uncertainty 계산

Coherent state는 불확정성 원리를 등호로 만족한다. ( ground state와 동일한 수준의 최소 uncertainty)

특이 사항: 인 coherent state는 그냥 ground state 이다.

Wave Function in Position Basis

로 정의하면:

이는 를 중심으로 이동한 Gaussian 분포이다. Coherent state의 wave function은 고전적 진폭 주위를 최소 uncertainty로 진동하는 Gaussian wave packet.

질문: 는 아무 복소수나 가능한가?

궁금한 내용

Q. 는 아무 복소수나 가능한가?

결론: 그렇다. 는 완전히 자유롭다.

수학적 근거: 으로 이루어진 급수는 모든 복소수 에 대해 수렴한다. 이 항상 유한하므로 normalization도 항상 가능하다.

물리적 의미: 로 쓰면,

• : 진동의 진폭
• : 초기 위상

고전 조화진동자에서 초기 조건 을 자유롭게 고를 수 있는 것처럼, 도 완전히 자유롭다.

값	의미
	Ground state 그 자체
실수	에서 , 변위 최대 위치에서 출발
순허수	에서 , 평형점 통과 시점에서 출발
$	\alpha

직관: 복소평면 위의 는 위상 공간의 한 점과 같다. 는 복소평면에서 원운동을 하며, 이 반지름, 가 시작 각도에 해당한다.

AI의 보충 설명

Equipartition Theorem vs Virial Theorem

비슷해 보이지만 다른 정리들이다. Virial theorem이 더 일반적이고, equipartition theorem은 그 특수한 경우로 볼 수 있다.

Virial Theorem (역학적 정리)

정상 상태에서 을 이용하면:

SHO의 경우 이므로 , 따라서:

일반적으로 이면 .

Equipartition Theorem (통계역학적 정리)

Hamiltonian에 이차식으로 등장하는 자유도 하나당 의 에너지:

비교

	Virial Theorem	Equipartition Theorem
분야	역학 (고전/양자)	통계역학
조건	정상 상태, 임의의	열평형, 에 이차식으로 등장
결론		자유도당

SHO에서 virial theorem은 “와 의 기댓값이 같다”는 것을, equipartition theorem은 “그 각각이 “임을 말한다. 전자는 순수하게 역학적 결과, 후자는 여기에 열평형 조건이 더해진 것이다.

연관 학습 노트

References

다음 강의

QM lecture note - Wave Equation and Probability Conservation

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