QM lecture note - Probability Conservation/Hamilton-Jacobi EQ/Classical limit

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

오늘의 공지: 중간 고사는 4.16 목요일 3-6시

지난 강의

QM lecture note - Simple Harmonic Oscillator

오늘의 핵심

Probability current

• Schrödinger Wave Equation은 Time Evolution Operator의 미분방정식으로부터 자연스럽게 유도된다.
• Wave function의 확률 밀도 는 시간이 지나도 보존된다 → Probability Conservation
  Probability conservation, 슈방, continuity equation에서 probability flux의 정의를 이용하면 양자역학 버전의 Probability current (flux) 를 이렇게 정의할 수 있다.

• 이를 국소적으로 기술하면 Continuity Equation:

Hamilton Jacobi equation

의 물리적 의미

를 어떻게 이해해야 할까? 운동의 시작점은 고정해 두고, 끝점 와 만 변수로 받는 함수로 보자. 이것은 configuration space에 퍼져있고, 시간에 따라 변화하는 스칼라 장이다.

이기 때문에, 이 스칼라 장의 기울기가 한 순간, 그 지점에서 운동을 결정한다.

한 시점에서 값이 같은 점을 모으면 등위면 (마치 전기장 전기포텐셜에서 등전위 면처럼) 을 생각할 수 있다면, 입자는 그 면에 수직한 방향으로 움직인다.

즉, 는 “입자가 시간에 에 위치하게 있기위해 지금까지흐른동안 액션” 이다.

고전역학으로 환원

• Hamilton-Jacobi 방정식과 양자역학의 Wave Equation을 비교하면, 극한에서 양자역학이 고전역학으로 환원됨을 보일 수 있다 → Classical Limit (WKB)

wave function의 극좌표 표현

이렇게 확률 밀도 와 phase 로 나누어서 나타낼 수있다.
Phase를 괜히 라고 쓴 게 아니다. 나중에 파인만의 경로 적분을 공부한다면, 시간이 지날 때 파동함수의 phase는 액션만큼 돌아간다는 걸 알 수 있다.
위의 식에서 가 바로 액션이자, 해밀턴-자코비 방정식에 등장하는 이다!
가 바로 운동량이라는 게 양자역학에서도 그대로 적용된다.
Probability current가 로 결정되는 것이다.

Probability current는 velocity field와 probability density의 곱이라는 점을 고려해라.

필기 내용

Time Evolution Operator의 미분방정식 복습

지난 시간에 를 유도했다. 이것을 다시 공부해 보자.

아래 성질을 이용한다.

는 무한소 시간 발전 연산자이므로:

따라서:

이를 정리하면:

중명 완료. 아마도.

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Schrödinger Wave Equation 유도

이후에, 이 time translation operator에 대한 미분방정식은 슈뢰딩거의 Wave Equation으로 이어진다. 를 이용.

여기에 를 왼쪽에서 곱하면:

를 어떻게 쓸 수 있는지 살펴보자. 이므로:

포텐셜 항: 완전성 관계 를 삽입하면,

운동량 항: 이전에 공부한 것에서 임을 알고 있으므로,

따라서:

이렇게 해서 슈뢰딩거의 Wave Equation이 나온다:

의 eigenstate에 대한 wave equation

에 대한 eigenstate: 이고, 이면, 양변에 넣으면 간단한 의미가 나온다.

Wave Function의 불변성

가 unitary 하기 때문에, 이다.

따라서 normalized 된 상태는 시간진화를 해도 계속 normalized 된다.

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Probability Conservation

Probability density: 이라 두면,

이게 바로 Probability Conservation. 입자는 사라지거나 하지 않는다.

이것을 구체적으로 확인하자:

슈뢰딩거 방정식을 이용해 시간 미분된 Wave function 항을 정리하자.

이를 대입하면:

와 , 는 연산자가 아니라 함수라서 교환이이 성립한다. 따라서 와 가 cancel out:

여기서 다음 항등식을 이용한다:

이것을 이용하면:

이렇게 Probability current (flux) 를 정의한다:

이게 바로 Continuity Equation이다.

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Hamilton-Jacobi Equation (고전역학)

양자역학 공식에서 무엇을 바꿔야 고전역학이 될까?
이것을 이해하기 위해, Hamilton-Jacobi equation을 먼저 알아야 된다.

설정

운동의 시작점 , 운동의 끝점 , 그리고 총 운동 시간 가 주어졌을 때, 이 조건을 만족하며 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 경로 이 있다고 하자.

어떤 함수 는 , , 가 주어졌을 때 의 액션값을 반환한다:

의 미분

를 구하면, 고전적인 경로를 따으기 때문에 오일러-라그랑주 방정식에 따라 bulk term은 0이 된다. 남는 건 boundary term 뿐이다.

따라서:

를 에 대해 미분하면 마지막 점에서 운동량 이 나온다:

에 대한 전미분

자체는 마지막 시점에서 라그랑지안이다:

그런데 를 편미분으로도 쪼갤 수 있다:

라그랑주-르장드르 변환이 가능하다:

앞에서 도 로 나타낼 수 있으므로:

이것이 바로 Hamilton-Jacobi Equation이다.

정리

의 물리적 의미

를 어떻게 이해해야 할까? 운동의 시작점은 고정해 두고, 끝점 와 만 변수로 받는 함수로 보자. 이것은 configuration space에 퍼져있고, 시간에 따라 변화하는 스칼라 장이다.
즉, 는 “입자가 시간에 에 위치하게 있기위해 지금까지 운동한 동안 생긴 액션” 이다.

이기 때문에, 이 스칼라 장의 기울기가 한 순간, 그 지점에서 운동을 결정한다.

한 시점에서 값이 같은 점을 모아서 등위면 (마치 전기장 전기포텐셜에서 등전위 면처럼) 을 생각할 수 있다면, 입자는 그 면에 수직한 방향으로 움직인다.

최소 작용의 원리

최소 작용의 원리에 따라, 입자의 운동 방향은 의 등위면에 수직하게 결정된다. 이므로, 의 기울기 방향이 곧 운동량의 방향이다. “기울기를 따라 간다”가 아니라, 기울기 방향이 곧 운동량 방향이라는 뜻.

해밀토니안이 시간에 불변하여 이라면,

는 에 대한 일차 항을 가진다. 어떤 상수 를 이용해, 를 위치와 시간에 대한 함수로 분리할 수 있다:

여기서 는 초기 상태에 의해 정해지는 값이며, 이 값이 바로 total energy라는 것을 유도할 수 있다.

와 해밀턴-자코비 방정식에 대입하면:

가 바로 , 즉 운동 에너지이므로, 는 곧 총 에너지이다.
를 결정할 때 값을 초기상태에 따라 총 에너지로 지정해 주고, 를 풀어주면, 그것은 총 에너지 를 보존하는 입자의 운동을 기술하는 가 되는 것이다.

특정한 값을 가지는 면(등위면)은 시간에 따라 움직일 수 있다. 이 면은 운동량 방향으로 이동하며, 이동속도는 마치 파동의 파면의 phase velocity에 비유할 수 있다.
아래 식이 생소하다!! 시간에 따라서 W(x,t) 전체가 아래로 푹 꺼진다고 상상하면, 국소적으로 W의 기울기의 크기가 클 수록 면이 느리게 이동한다는 것을 떠올릴 수 있다.

( 자체가 이동속도가 아니다. 운동량 로 나눈 값이다.)

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Wave Function의 극좌표 표현과 Probability Current의 의미

파동함수를 확률 밀도 와 위상 로 분리해 나타낼 수 있다:

Phase를 굳이 라고 쓴 건 우연이 아니다. 파인만의 경로 적분에 따르면, 시간이 지날 때 파동함수의 phase는 액션만큼 돌아간다. 즉 는 바로 액션이자, Hamilton-Jacobi 방정식에 등장하는 와 같은 것이다.

고전역학에서 였던 것과 대응하여, 는 고전적 대응(classical correspondence)으로서 국소 운동량의 역할을 한다. 엄밀하게는 극한에서 성립하는 관계이며, 일반적인 양자 상태에서 는 정확한 운동량 eigenvalue가 아니라 국소 평균 운동량(local mean momentum) 에 해당한다:

Probability current도 이것으로 결정된다:

이 식의 구조를 보면: Probability current = probability density × velocity field. 이 velocity field 역할을 하는 것이다. 고전 유체역학의 연속 방정식 과 정확히 같은 구조다.

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Classical Limit of Quantum Mechanics (WKB)

이제 양자역학과 연관지어 보자. 파동함수를 복소수 극좌표계로 나타낼 것이다.

어떤 함수 에 대해, 라고 나타내자. 이것을 슈뢰딩거 방정식에 넣어 보자. 를 계산하는 게 관건.

계산 (1차원에서)

3차원으로 일반화하면:

이를 이용해 슈뢰딩거 방정식을 풀면, 에 대한 미분방정식을 얻을 수 있다:

는 액션의 차원이었다.
위 식에서, 우변을 0으로 두고 좌변만 보면은 를 액션으로 취급했을 때 해밀턴-자코비 방정식과 일치한다.
따라서 항이 무시할 만 하면, 특히 과 비교했을 때 작다면,
가 고전적인 액션과 같아지면서 시스템은 고전역학이 된다.

Important

일 때 시스템은 고전적이게 된다.

[! AI 보충 설명]
이 조건을 직관적으로 해석하면: 의 변화 스케일 가 드 브로이 파장 보다 훨씬 클 때, 즉 양자 효과(파장)에 비해 그 스케일이 충분히 클 때 고전적이 된다. 의 phase가 짧은 거리 안에서 빠르게 돌아갈수록 (비유: 파장이 짧을수록) 고전적이다.

드 브로이 물질파 는 이 조건의 직관적 보연이다. 조건 의 의미를 구체적으로 보여주는 예시다:

따라서 조건 는 와 동치다. 드 브로이 파장이 시스템의 건화량 스케일보다 훨씬 짧을 때 고전 근사가 성립한다.

극한: Classical Limit

만약 이라면, 대신 에 대한 Hamilton-Jacobi Equation이 되는 것이다.

전개 (WKB Expansion)

를 에 대해 expand 해 보자. 0차항이 고전적 가 되리라 기대한다:

계산 → 나중에 직접 해보기!

를 에 대한 미분방정식에 넣고 차수 항만 모으면 을 구할 수 있다.

먼저 차수를 모으면 Hamilton-Jacobi 방정식이 나온다 (예상대로):

차수 항을 모으면 방정식이 나온다. 계산하는 게 복소수 절댓값이 아님에 유의하라.

의 전개에서 항이 로 나오고, 우변의 에서 항이 로 나오는 것이다. 양변을 로 나누면 에 대한 선형 PDE를 얻는다.

까지 구하면 — Probability Density

까지 구하면, 이것으로 probability density 를 결정:

“고전적 액션에서 벗어난 액션이 probability distribution을 만든다.”

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궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

Tong의 고전역학 교재
4 The Hamiltonian Formulation.pdf

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