QM lecture note - Propagators and Feynman's Path Integral

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Wave Equation and Probability Conservation

WKB 조건: 이면 고전적이게 된다.
였다. 그러면 위 내용은 ‘운동량이 크면 고전적이게 된다.‘와 같은 말인가

→ 오늘은 파인만의 경로적분을 공부해 보자.

오늘의 핵심

• Propagator 는 에서 에 있던 파동함수를 에서 에서의 파동함수로 전달하는 Green function이다.
• Propagator는 Time Evolution Operator를 위치 기저로 나타낸 matrix element이다:

• Propagator의 Trace 를 Laplace 변환하면, 에너지 스펙트럼을 simple pole 형태로 담는 를 얻는다.
• Feynman’s Path Integral: 를 시간 조각으로 쪼개면, 모든 경로에 걸친 합으로 표현된다. 각 경로의 기여는 이며, 고전적 경로가 지배적이다.

필기 내용

Propagator의 정의

이미 알고 있는 것: 를 구하고 싶다. 특정 basis 로 나타냈을 때 계수 를 알고 있을 때, 의 시간진화의 합으로 를 구할 수 있다. 이것이 Schrödinger picture이다.

가 에 대한 eigen ket이라면, 이므로:

나는 에서 와 에서 를 연결하고 싶다. 에 를 끼워 넣자:

위치 와 , 시간 과 를 이어주는 propagator를 이렇게 정의한다:

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Propagator의 물리적 의미

의 크기만큼, 시간이 지난 만큼 phase가 돌아간 채로 가 로 전달된다.

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Propagator의 특성

첫 번째 특성: Final variable에서 슈뢰딩거 방정식이 성립

초기 상태 를 고정으로 두고 를 과 에 대한 함수라고 볼 때, 는 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.

두 번째 특성: 이면 가 디랙 델타

시간이 지나지 않았으니 probability amplitude가 원래대로 유지되어야 하기 때문이다.

증명:

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Propagator와 time evolution operator

즉, propagator는 time evolution operator를 position basis로 나타내었을 때의 matrix element이다.

는 초기 wave function이 Dirac delta일 때 슈뢰딩거 방정식의 솔루션이다. 즉, 슈뢰딩거 방정식의 Green function이다. 전정기학에서 Green function으로 퍼텐셜을 구하는 것과 비슷하다.

	전하 분포와 포텐셜	QM wave function
신호	위치의 전하분포	과거 wave function:
반응	위치 포텐셜	현재 wave function:
Green function
General solution
Green function 정의		에서 wave function이 디랙 델타일 때 에서 wave function

에서 wavefunction이 디랙 델타일 때, 가 바로 에서 슈뢰딩거 방정식의 해라는 것에서, 아래 방정식이 성립:

아니 의미는 알겠는데… 왜 식을 위에것 처럼 쓰는 건지 모르겠다. 푸아송 방정식은 전하분포가 명시적으로 방정식에 있어서 그 자리에 디락 델타를 넣는 다는 것이 납득이 되는데, 슈뢰딩거 방정식의 경우 연산자를 한 변으로몰아넣고 반대편에 디락델타를 넣는 이유를 모르겠다.

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예시: Free Particle Propagator

이라면 해밀토니안의 eigen ket은 이다. .

연속 스펙트럼이므로 합을 적분으로 바꾸고, 를 이용:

에 대한 완전제곱식으로 바꾼 뒤, Gaussian integral을 수행하면:

자세한 계산 과정을 확인하고 싶다.

Free Particle Action과의 비교

고전적으로, 입자는 시간 시점에 위치에서 등속 운동하여 시간 에 에 도달한다.

앞에서 구한 free particle propagator의 exponential 부분이 정확하게 이다.
의외로 exponential 안에 음수 부호가 없다. 유의하자.

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Propagator의 Trace:

Propagator는 time evolution operator를 position basis로 나타낸 matrix이므로,
trace는 일 때 time evolution operator의 값을 모두 더한 것이다.
이 trace를 라 쓰고, 으로 고정한다.

가 붙어있다는 점을 제외하면 통계역학의 partition function과 비슷하다. 이다. 를 imaginary로 만들면 가 실수가 된다.

질문

이다. 시간·플랑크상수·온도·볼츠만 상수 사이의 관계는?

Laplace 변환:

시간 공간에서 에너지 공간으로 변환한다. 조건 때문에 푸리에 대신 라플라스 변환을 쓴다.

이대로 적분하면 발산한다. 으로 바꾸고 으로 보내면:

는 에너지 스펙트럼 의 분포를 simple pole의 형태로 나타내고 있다.

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Propagators as a Transition Amplitude

하이젠베르크 관점에서 propagator의 정체를 알아 보자.

이는 에서 한 위치의 basis와 에서 다른 위치의 basis 사이의 내적이다.
즉, 상태가 로 될 probability amplitude이다.

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Feynman’s Formulation: Path Integral

아이디어: 를 아주 짧은 개의 시간 간격으로 쪼갠 뒤, 각 time segment에서 들의 곱으로 나타내자.

을 적분한다는 것은, 에서 으로 가는 사이에 일어날 수 있는 모든 경로를 더한다는 뜻이다.

짧은 시간 동안의 는 action만큼 phase를 돌리는 기능을 한다:

모든 경로가 계산에 동등한 가중치를 가진다. 다만, 비고전적인 경로들은 주변 경로끼리 스스로 빠르게 phase가 상쇄되어 실제로 보이지 않게 된다.

고전 극한

해보기: 질량이 커질수록, 고전적인 경로만 남게 된다는 것을 파인만 정보로 보이자.

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궁금한 내용

• 에서, 를 imaginary로 바꾸면 통계역학의 partition function이 된다. 시간과 온도 사이의 깊은 관계가 있는가? (열장(thermal field theory)에서 다루는 주제일 것 같다.)
• Laplace 변환 계산 과정: trick을 이용해 를 직접 유도해 볼 것.
• Free particle propagator에서 prefactor 의 출처는? Gaussian integral 할 때 나오는 정규화 상수인가?

AI의 보충 설명

1. 슈뢰딩거 방정식을 왜 Green function 형태로 쓰는가?

핵심 질문: 푸아송 방정식 는 ‘소스가 있는 방정식’이라 디랙 델타를 넣는 게 납득되는데, 슈뢰딩거 방정식에서는 왜 연산자를 한쪽으로 몰고 반대편에 델타를 넣는가?

Green function의 일반적 정의부터 시작하자. 어떤 선형 미분 연산자 에 대해:

라는 방정식이 있을 때 (는 소스), 이 연산자의 Green function 는 다음을 만족하는 함수로 정의된다:

이렇게 정의하면, 임의의 소스 에 대한 해를 로 바로 쓸 수 있다. 연산자를 한쪽으로 몰고 델타를 반대편에 놓는 것이 바로 Green function의 정의 자체이다.

푸아송 방정식의 경우 이고 소스가 전하분포 이므로 자연스럽게 그 형태가 보이는 것뿐이고, 슈뢰딩거 방정식에서는 이 아래와 같이 정의된다:

슈뢰딩거 방정식 은 소스 없는(homogeneous) 방정식이다. 그런데 는 초기 조건 에 의해 구동되는 해이므로, 이 초기 조건을 소스 항으로 표현하면:

우변에 붙는 는 관습적인 normalization 계수다. 직관적으로는: ”, 라는 시공간의 한 점에서 파동함수가 폭발했고, 그것이 이후에 퍼져나가는 것이 이다” 라고 이해하면 된다. 푸아송 방정식에서 점전하 하나가 포텐셜을 만드는 것과 정확히 같은 구조이다.

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2. Free Particle Propagator의 Gaussian Integral 계산

계산하려는 적분:

으로 놓자. 지수 안을 에 대해 완전제곱식으로 정리한다.

두 번째 항은 와 무관하므로 적분 밖으로 나온다. 로 치환하면:

이제 Gaussian integral을 수행한다. 일반적으로 일 때:

여기서 이다. 이지만 처리 (또는 analytic continuation)로 성립한다고 받아들이자. 그러면:

따라서:

prefactor의 출처: Gaussian integral에서 나오는 정규화 상수 를 로 나눈 것이다. 물리적으로는 파동함수의 normalization을 유지하기 위해 반드시 필요한 인수이며, 극한에서 가 되게 해주는 역할도 한다.

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3. 유도: trick → 나중에 직접 연습장에 유도해보기

계산하려는 적분:

가 실수이면 피적분함수의 크기가 로 일정하므로 에서 수렴하지 않는다. 수렴시키기 위해 에 작은 양의 허수부를 더한다:

그러면 지수 안이:

항이 에서 지수적으로 0으로 만들어주므로 적분이 수렴한다:

이것을 대입하면:

극한을 취하면:

는 복소 -평면에서 각 고유에너지 에 단순 극(simple pole) 을 가진다. 즉, 에너지 스펙트럼을 직접 읽어낼 수 있다. 처방은 물리적으로는 “인과율 조건”에 해당하며, pole이 실수 축의 바로 아래에 위치하게 만든다.

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4. 허수 시간과 온도: Wick Rotation

Propagator의 trace:

통계역학의 partition function:

두 식을 비교하면, 로 놓는 순간 가 된다. 즉:

이 치환을 Wick rotation (, 실수 )이라 한다. 이것은 단순한 수학적 트릭이 아니라, 시간의 허수 방향으로의 해석적 연속이다.

핵심 의미: 온도 에서의 열평형 통계역학은, 시간을 허수로 만들었을 때의 양자역학과 수학적으로 동일한 구조를 가진다. 구체적으로:

• 실시간 양자역학의 time evolution 는 Wick rotation 후 , 즉 Boltzmann factor가 된다.
• 허수 시간 의 범위는 이고, 이 “허수 시간” 방향을 Euclidean time 또는 thermal circle이라 부른다.

이 구조는 Thermal Field Theory (유한온도 장론)의 출발점이 된다. 또한 이것은 우연이 아니라 깊은 물리적 이유가 있는데, 계의 열평형 상태는 “허수 시간 방향으로 주기적인” 양자 상태에 대응하기 때문이다 (KMS 조건). 나중에 통계역학이나 응집물리를 공부할 때 다시 만나게 될 것이다.

연관 학습 노트

References

Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chap. 2

다음 강의

QM lecture note - Path Integral Formulation

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