QM lecture note - Gaussian Wave Packet

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Position, Momentum, and Generators

오늘의 핵심

Gaussian wave packet은 x-space에서 보면 Gaussian envelope 안에 phase가 진동하는 형태이고, 푸리에 변환(momentum space)에서 보아도 역시 Gaussian이다. 두 공간에서의 너비가 불확정성 원리를 포화(saturate)시킨다.

필기 내용

Gaussian Wave Packet in x-space

x-space에서 wave function은 다음과 같다.

• : 진동하는 phase 항
• : phase들의 envelope을 Gaussian으로 결정하는 항

계산

정규화된 확률밀도:

modulus는 예상했듯이 그냥 Gaussian이다. 를 이용.

으로 놓으면,

자연스럽게 (Gaussian distribution의 특성상) , .

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Gaussian Wave Packet in p-space

과 은 푸리에 변환하면 더 아름답게 구할 수 있다. Gaussian을 푸리에 변환하면 다시 Gaussian이 나온다. 그럼 Gaussian wave packet을 푸리에 변환하면 뭐가 나올까?

푸리에 변환할 때 을 이용하고, 로 normalize → 이거 항상 까먹는다.

로 놓고, 내부를 완전제곱식으로 만든다:

은 를 허수축으로 평행이동한 것이므로 적분에 영향을 주지 않는다:

최종 결과:

Probability density를 구하면,

놀랍게도 만큼 평행이동한 Gaussian distribution이 나온다. 진동하는 phase가 전혀 없다.

Expectation Values in p-space

어차피 가우시안이므로 standard deviation은 식을 보며 바로 알 수 있다.
다만 주의할 점은, 꼭 wave function을 제곱하여 probability density를 구해야 한다는 것이다. Wave function 자체가 가우시안이라서 좀 헷갈린다.

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Minimum Uncertainty State

Gaussian wave packet은 불확정성 원리를 정확히 포화(saturate)시키는 minimum uncertainty state이다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

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QM lecture note - Time Evolution Operator

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