스라소니 머릿속에는

QM lecture note - Canonical Commutation Relation from Translation

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강의 필기 보충 노트

이것은 Quantum Mechanics 강의 관련 손 필기를 정리한 보충 노트입니다.
QM lecture note - Position, Momentum, and Translation 및 QM lecture note - Position, Momentum, and Generators의 핵심 유도를 복습·정리한 내용입니다.

핵심

  • Translation operator의 generator 개념을 이용하면 를 유도할 수 있다.
  • 운동량이 위치의 미분연산자라는 사실을 이용하지 않은, 순수하게 translation property를 이용한 유도이다.
  • 를 직접 계산한 뒤, 𝟙를 대입하면 canonical commutation relation이 나온다.
  • 은 서로 다른 방향의 translation operator가 commute한다는 사실에서 유도된다.
  • 𝟙의 부호는 왜 𝟙와 반대일까? → commutation relation 때문에 그렇다.

일반화

A와 B가 서로 canonical conjugate라고 치자. 둘은 서로의 generator이다.
둘의 commutation relation이 를 만족할 때,
각자의 translation operator는 이렇게 정의된다.

𝟙𝟙

두 translation operator에서 의 계수 앞 부호가 반대가 되는 것은 commutation relation의 비대칭성 에서 비롯된다.

필기 내용

배경: 변수와 그 generator 사이의 canonical commutation relation

Translation operator의 명시적 형태:

𝟙

이 translation operator는 위치 eigenket에 아래와 같이 작용한다:

유도

목표: 위치 연산자 와 운동량 연산자 의 commutator를 구한다.

아이디어: 를 직접 구하는 대신, 를 먼저 계산한 뒤 (1)을 대입한다.

Step 1. 를 eigenket 에 작용시킨다:

두 식의 차:

(이 무한소이므로 )

따라서:

Step 2. (1)을 (6)에 대입:

𝟙

3차원으로의 확장:

각 방향의 translation operator가 독립적으로 작용하므로:

유도

아이디어: 서로 다른 방향의 translation이 commute함을 이용한다.

서로 다른 방향 , 로의 translation operator는 순서에 관계없이 같은 결과를 준다:

각 translation operator를 (1)의 형태로 쓰면:

𝟙𝟙

물리적 의미

방향으로 먼저 평행이동하고 방향으로 이동하든, 반대 순서로 하든 결과는 같다. 이 사실이 바로 와 가 commute함을 보장한다.

요약: Canonical Commutation Relations

Commutator값

이 세 관계식은 양자역학의 근본 구조를 이루며, translation operator의 성질로부터 자연스럽게 도출된다.

보충: 의 부호는 왜 와 반대일까?

문제의식: position translation operator는

𝟙

인데, momentum translation operator는

𝟙

로 부호가 반대다. 왜일까?

검증: 를 직접 계산해보자.

가 momentum eigenket 에 작용하면:

따라서:

한편 (13)을 대입하면:

𝟙

만약 (13)의 부호를 반대로 𝟙로 놓았다면, (16)과 비교했을 때 가 나와 canonical commutation relation에 모순이 생긴다.

일반화

A와 B가 서로 반대 방향의 generator 관계, 즉 를 만족할 때:

𝟙𝟙

두 translation operator에서 의 계수 앞 부호가 반대가 되는 것은 commutation relation의 비대칭성 에서 비롯된다.

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