QM lecture note - Position, Momentum, and Translation

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Basis Transformation Operator

오늘의 핵심

• Continuous spectrum의 eigenket들은 Dirac delta 정규화를 사용하며, 이를 통해 모든 ket을 wave function으로 표현할 수 있다.
• Position operator 의 eigenket 들은 completeness relation 을 만족하고, 는 basis에 대한 expansion coefficient이다.
• Translation operator 는 unitary이며, 무한소 전개를 통해 로 쓸 수 있고, 는 Hermitian operator이다.
• 와 의 commutator 계산을 통해 를 유도할 수 있으며, 3D로 확장하면 이다.

필기 내용

Continuous Spectrum

디락 델타로 정의된 위치의 eigenket을 이용해 모든 ket을 wave function으로 만들 수 있다.

가 complete하므로,

basis의 sum으로 ket을 나타내면 다음과 같다.
Discrete한 경우는

Continuous한 경우는

Continuous spectrum observables 이용 방법

• 여전히 self-adjoint operator다.
• Projection-valued measure를 사용.
• 위에서 를 먼저 정의하고, duality를 통해 위의 로 확장.
• 예시)
  • 는 힐베르트 공간의 unitary operator지만, 에도 적용할 수 있는 것이다.

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Position Space

기호	의미
	position operator
	eigenvalue (실수)
	wave function (position representation)
	infinitesimal translation operator
	generator of translation (Hermitian)

Discrete ↔ Continuous 대응표

	Discrete	Continuous
eigenvalue eq.
orthonormality	크로네커 델타	디락 델타
completeness
expansion
norm
inner product
matrix element

관측이 간격에서 이루어질 때,

를 으로 찾되 범위에서 발견될 확률은 인 것이다.

가 제대로 normalized라면,

즉 는 basis에 대한 expansion coefficient인 것이다.

Wave Function in Position Space

와 의 겹침을 계산한 것이다. 는 를 상태로 관찰할 확률 진폭폭이다.

operator의 matrix element:

만약 이면,

3D Position Space

3D에서는 의 simultaneous eigenket을 사용한다. 가 compatible하기 때문.

---

Translation

wave packet이 에서 로 이동

과 은 같은 ket이지만, eigenvalue(라벨)가 달라지는 것이다.

와 ,둘이 notation이 왔다갔다 하긴 하지만 고치기 귀찮으니까 냅두자.

의 특성

1) Unitary — probability conservation 때문에

2) Composition

3) Inverse

→ 위의 unitary 조건이랑 동치 아닌가?
Tranplation의 정의에 기반한 직접적인 증명은 QM mini note - Generator as Differential Operator 에 있다.

4) Identity

Explicit Form of

의 네 가지 특성을 모두 만족시키기 위해서는 는 위의 형태를 가져야 한다.

를 테일러 전개 1차까지 한 것이다. 또한 어떤 operator이며, Hermitian이다. 의 unitery property를 위해서다.

Unitarity 검증:

Composition 검증:

와 의 1차까지만 전개한 결과이다.

Unitary 검증 (inverse):

---

와 사이의 관계

중요하다고 생각한 부분, 따로 QM mini note - Canonical Commutation Relation from Translation 에 적었다. translation의 특성만으로 변수와 그것의 generator 사이의 commutation relation을 알 수 있다.

를 대입하면,

이것을 3차원으로 확장하면,

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

다음 강의

QM lecture note - Position, Momentum, and Generators

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