스라소니 머릿속에는

Canonical Transformation and Symplectic Structure

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Canonical Transformation and Symplectic Structure

이 노트는 QM lecture note - Position, Momentum, and Generators의 궁금한 내용 1번에서 출발했다:
“Poisson bracket 구조가 보존된다는 것만으로, 형태를 유도할 수 있는가?”

결론: 그렇다. 하지만 그 논증은 미분기하 언어를 요구한다.

기호 정리

기호의미
원래 정준 좌표
변환된 정준 좌표
symplectic 2-form
generating function
exterior derivative

1. Symplectic 2-form

위상공간(phase space) 에 다음 2-form을 정의한다:

Poisson bracket은 이 로 완전히 표현된다. 두 함수 에 대해:

여기서 는 의 Hamiltonian vector field.
왜 이런지 차근차근 알아보자.

Two-form의 연산

1-form 는 벡터 하나를 받아 실수를 뱉는 선형 함수, covector이다.

2-form 는 벡터 두 개를 받는 쌍선형 반대칭 함수:

wedge product의 의미:

두 벡터를 와 평면에 사영했을 때 벡터가 이루는 평행사변형의 면적값이 바로 위의 값이다.

위상공간에서 를 두 벡터장 에 작용하면:
와 가 벡터장 의 성분일 때,

직관적으로는 위상공간에서 와 가 이루는 면적의 합이다.

Hamiltonian Vector Field의 정의

위상 공간의 한 점을 실수로 mapping하는 함수 가 주어졌을 때, Hamiltonian vector field 는 다음으로 정의된다:

는 2-form에다가 벡터를 이미 하나 넣었으므로 1-form의 역할을 하는 것이다.

는 정확히 어떻게 생긴걸까? 계수를 알아보자.

로 놓고,
에 임의의 벡터장 를 넣어 계산한다.

좌변:

우변 (를 에 작용):

가 임의이므로 , 각각의 계수를 비교하면:

따라서:

해밀턴 역학과 시간의 역할:

에 대응하는 Hamiltonian vector field 는 특별한 의미를 가진다.

이것은 Hamilton의 운동방정식 , 그 자체다. 즉:

는 equation of motion의 soultion이 위상공간에서 그리는 흐름을 나타낸다!!!
시간은 위상공간의 좌표가 아니라, 이 흐름을 얼마나 따라갔는지를 재는 매개변수(parameter) 다.

위상공간 의 한 점은 계의 어느 한 순간의 상태 하나를 나타낸다. 시간이 흐른다는 건 그 점이 를 따라 궤적을 그린다는 것:

확인

Poisson bracket은 symplectic form으로 측정한 두 Hamiltonian vector field 사이의 면적이다.

즉, Poisson bracket 구조를 보존한다 = 를 보존한다.

Canonical transformation 의 정의는 바로 이것이다:

2. Poincaré Lemma를 통한 generating function의 존재 증명

가 보존된다는 것을 다르게 쓰면:

이것은 다음과 동치다:

왜 동치인가? 의 두 가지 성질을 쓴다.

성질 1 — Leibniz 규칙: 가 스칼라 함수(0-form), 가 1-form일 때:

성질 2 — : 임의의 form 에 대해 .

이 두 성질로 를 계산하면:

모든 에 대해 더하고, wedge의 반대칭성 를 쓰면:

마찬가지로 . 따라서:

이것이 이라는 조건은 정확히 , 즉 보존과 같다.

즉 1-form 가 closed하다. ()

Poincaré Lemma: 단순연결(simply connected) 공간에서 closed form은 exact하다. 즉 어떤 함수 가 존재해서:

성분별로 쓰면:

이것이 타입 generating function의 존재를 보장한다.

3. 작용과의 연결

위 식을 시간으로 적분하면:

경계항은 변분에서 사라지므로(), 두 라그랑지안은 동일한 작용 변분을 준다:

(와 는 전미분 항 차이만 있어서 generating function의 타입에 따라 정리된다.)

3.5. 에서 로 — Legendre Transform

Poincaré Lemma로 얻은 결과는 와 가 독립변수인 타입이었다:

독립변수를 로 바꾸고 싶다면 — 즉 를 원한다면 — Legendre transform을 쓴다:

양변에 를 취하면:

를 대입하면 항이 소거되어:

이제 의 독립변수가 와 로 바뀌었다. 계수비교하면:

, 도 마찬가지 방식이다. 에 적절한 항의 를 더해서 원하는 독립변수 쌍으로 교환하는 것 — 이것이 Legendre transform의 본질이다.

타입Legendre 추가항결과 1-form
(없음)

4. Generating function의 네 가지 타입

의 독립변수를 어떻게 고르느냐에 따라 네 가지 타입이 나온다. 를 Legendre transform으로 변수변환하면:

타입독립변수관계식
옛 위치, 새 위치,
옛 위치, 새 운동량,
옛 운동량, 새 위치,
옛 운동량, 새 운동량,

4.5. Generating Function의 물리적 의미

수학적으로는 “독립변수 선택”이지만, 물리적으로는 “어느 공간의 언어로 변환을 기술하느냐” 의 문제다.

— 위치 → 위치

옛 위치 와 새 위치 를 둘 다 지정하면, 이 그로부터 와 를 뱉어준다. 물리적 그림: “입자가 에서 출발해서 로 도착했다. 그 여정을 이 기술한다.” 실제로 는 위치 에서 위치 까지 가는 고전적 작용(classical action)과 동일한 구조를 가지며, 경로적분의 propagator와 연결된다.

— 위치 기준, 새 운동량 생성

가장 실용적인 타입이다. 현재 위치 를 기준으로, 새 운동량 방향으로 변환을 기술한다. Identity transformation 와 infinitesimal transformation 가 여기서 나오는 이유가 이것이다 — 위치 에서 출발해서 새 운동량 를 생성하는 방식이 물리적 대칭과 보존량을 기술하는 데 가장 자연스럽기 때문이다.

— 운동량 → 위치, Fourier 유사 구조

옛 운동량 공간에서 출발해 새 위치 공간으로 가는 변환이다. Fourier transform과 유사한 구조를 가지며, 실제로 -표현에서 -표현으로 전환하는 것과 연결된다.

— 운동량 → 운동량

완전히 운동량 공간 안에서 노는 변환이다. 실용적으로는 가장 덜 쓰이지만, 운동량끼리 섞는 변환(예: 회전)을 기술할 때 등장한다.

요약표

타입물리적 의미대표 예시
위치→위치, 고전적 propagator경로적분
위치 기준 infinitesimal 변환 (translation), (rotation)
운동량→위치, Fourier 유사- 표현 전환
운동량→운동량 변환운동량 공간 회전

5. 유도

로 놓으면 (에서 Legendre transform):

여기서 로 정의. 전미분을 전개하면:

, 계수를 비교:

시간 항까지 포함한 작용 조건 에서 상수항 비교:

핵심 요약

  1. Canonical transformation = symplectic 2-form 보존
  2. 보존 가 closed
  3. Poincaré Lemma generating function 존재
  4. 의 독립변수 선택 → 4가지 타입
  5. 각 타입에서 계수비교 → 의 관계식

궁금한 내용

Q. Poisson bracket 안에 넣는 , 가 스칼라 함수라면, 해석역학에서 처럼 벡터처럼 보이는 것을 넣을 때는 어떻게 되는 건가?

와 는 항상 스칼라 함수다. 나 도 마찬가지 — 위상공간의 한 점 를 받아서 그 점의 번째 성분값을 돌려주는 스칼라 함수다:

벡터처럼 보이는 이유는 인덱스가 여러 개이기 때문이고, 각각의 , 는 개별적으로 스칼라 함수다. 는 함수의 라벨이지, 그 함수가 벡터라는 뜻이 아니다.

따라서 를 계산할 때도, 스칼라 함수 와 각각의 Hamiltonian vector field를 구해서 에 넣는 것이다:

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