스라소니 머릿속에는

AM lecture note - Differential forms

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강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

공지: 5월 마지막 주 전까지 강의를 마치겠다. (5월 21일이 마지막 강의가 되도록!)

지난 강의

AM lecture note - Symplectic geometry intro에서 vector field, tangent space, integral curve, Lie bracket, tangent map (push-forward)을 다뤘다. 오늘은 push-forward까지 마무리하고, differential form으로 넘어간다.

오늘의 핵심

오늘의 핵심 개념:

  • Cotangent space : tangent space의 dual
  • 1-form: 각 점에 cotangent vector를 대응시키는 사상
  • Interior product : 벡터장과 form의 자연스러운 pairing
  • -form과 wedge product: exterior algebra의 구조
  • Exterior derivative : form의 차수를 올리는 유일한 미분 연산자
  • Pull-back : push-forward의 dual, form을 끌어오는 연산

필기 내용

Differential form

지난 시간 복습, tangent vector

는 coordinate chart이다. , .

그러면 차원의 vector space를 가진다.

이제부터는 벡터장과 쌍을 이루는 다른 tangent vector를 의미하는 것이 아니다.

Cotangent space 정의:

→ 이게 무슨 뜻인지 교수님도 모른다. 아마 은 vector와 covector의 inner product가 실수임을 의미하는 것일 거다.

는 의 dual space이다.

1-form이란?

는 1-form이다. 벡터장의 dual-space 버전이라고 생각하면 된다.

를 위의 좌표라 하면:

  • 의 basis는 이다.
  • 이것은 의 basis 과 dual이다.

Inner product (natural pairing):

inner product라는 이름은 벡터장과 코벡터를 짝지어 실수를 만드는 것이다.

벡터와 코벡터의 basis 끼리의 inner product는 크로네터 델타이다.

이것이 서로 dual한 basis의 관계이다.

1-form 는 basis 의 선형 결합이다:

이런 정의는 coordinate independent definition이다.

아까 벡터장은 이라고 정의했었다.
그래서 임의의 벡터장과 코벡터장의 inner product는 아래와 같다.
계수들을 짝맞춰서 곱한 뒤 전부 더하는 것이다.

Smooth 1-form:

0-form 를 이용해 1-form을 만드는 연산이 있다.

가 위의 smooth function이라 하자. 그럼 는 이렇게 만들어진다.

이 는 smooth 1-form이다.

는 1-form의 space이다.

Interior product

정의: 일 때, 의 interior product :

==즉, 는 미리 저장해 두었던 벡터장 를 이용해서 입력받은 임의의 1-form을 와 inner product하여 0-form을 만드는 연산자이다.==

저번 시간, 벡터장 는 0-form 에 대해 미분연산자처럼 작용한다는 것을 배웠다.

이게 알고보면 랑 의 inner product인 것이다.

예시: , 일 때:

는 아까 보였듯 로 만든 1-form이다.

interior product로 1-form의 coefficient 추출하기

1-form 의 성분을 interior product로 추출할 수 있다:

이것은 와의 interior product이다.

-form과 Exterior Product

2차원 이상의 form으로 넘어가자. 1폼만 가지고는 뭔가 부족한 것이다.
2차 이산의 form은 1-form의 텐서곱으로 이해하면 된다.

정의: 는 의 -th exterior product이다.
exterior product가 무엇인지는 나중에 자세히 알아보자.

는 -form:

의 basis:

부터 까지의 index를 어떻게 선택하느냐가 관건.
가 차원일 때, 1부터 까지의 index가 있을 것이다. 여기서 개를 뽑아 크기 순서대로 부터 까지로 할당하는 논리다.

앞에 coefficient를 붙여서 일반적인 p-form을 이렇게 나타낼 수 있다.

p-form space의 차원은 곧 basis의 개수이므로,
구별되는 개 중에서 개를 순서없이 겹치지 않게 뽑는 경우의 수이다.

Wedge product

Wedge product 정의:
은 위의 smooth -form의 집합.
은 위의 모든 form의 집합.

→ 이걸 왜 정의하는가 싶긴 하지만…
이게 있으면 모든 종류의 p-form 사이의 연산을 정의할 수있다.

성질:

  1. Bilinear property:
  2. Associativity:
  3. ==Graded commutativity==: 가 -form, 가 -form일 때:

예를 들어, 두 1-form의 wedge product에 대해, 이므로,

이 경우, 똑같은 1-form basis끼리의 wedge product 는 0이 된다는 것을 반대칭성을 통해 알 수 있다.

이므로, 이어야 할 수밖에 없는 것이다.

Exterior Derivative

가 뭘 의미하는가?

기본 정의 (0-form → 1-form):

는 0-form을 1-form으로 mapping하는 연산자다.

라이프니츠 규칙:

Theorem: Exterior derivative의 존재와 유일성

의 기능을 더 확장해 보자. 아무 p-form이나 전부다 한 단계 높이는 연산자로.
다음을 만족하는 unique map 가 존재한다:

  1. 는 -linear
  2. (차수를 1 올린다)
  3. 는 위에서 정의한 와 같다.
  4. ==Graded Leibniz rule==: 가 -form이면:

Exterior derivative의 명시적 계산

-form 가 다음과 같이 주어진다면:

이것을 exterior derivative하면 뭐가 나올까?

-form의 basis의 exterior derivative를 먼저 계산해 보자.
Leibniz rule과 을 이용한다.

우변에서 첫번째 항은 0이 되어 날아간다.

역시 우변에서 첫번째 항은 0이 되어 날아간다.

이 과정을 계속 반복하면,

즉, ==1-form 이상의 basis는 exterior derivative 하면 0이 나온다.==

에 대한 표현식에서 summation 되는 항인 에서,
는 0-form으로, 는 -form으로 두어 graded Leibniz rule을 이용해 를 계산해 보자.

우변에서 두번째 항은 0이 된다.

결론적으로,

1-form의 exterior derivative 예시

1-form 에 를 적용하면:

Antisymmetry에 의해,

따라서,

벡터장에 적용: 전자기학과의 연결

1-form (이것을 vector potential 로 본다)에 를 적용하면:

여기서 는 전자기장 텐서(field strength tensor) 이다!

의 의미

그러면 는 무엇인가? 계산에 보면:

이 되는 이유는

→ 여기서 의 permutation을 돌려보면 사라질 거 같다.

이것은 벡터 해석학의 항등식과 이어진다:

즉, 은 Maxwell 방정식의 Bianchi identity에 해당한다!

Maxwell 방정식에 대한 논의는 다음 시간에 더 자세하게 다뤄진다.

Pull-back

, .

의 pull-back 는 다음과 같이 정의된다.

0-form (함수)의 pull-back:

그저 합성함수일 뿐이다. 간단하다.
이것은 위의 함수(0-form)를 위의 함수로 가져오는 것이다.

-form의 pull-back:
활용을 확장해서 0-form뿐만 아니라 p-form에도 적용할 수 있다.

좌표계를 쓰는 위의 -form 가 아래와 같이 표현 된다.

Pull-back의 두 가지 변환 규칙

위 두 변환을 의 표현식에 적용하여 를 찾는다.

복잡해!!

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

AM lecture note - Symplectic geometry intro
AM lecture note - Canonical transformation

References

주요 교재: [[Chapter3_Interlude of Sympletic Geometry_[Si Li] Classical Mechanics and Geometry.pdf]]

다음 강의

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