Canonical Momentum in Magnetic Field

Symbol Table

Symbol	Meaning
	벡터 포텐셜 (vector potential)
	정준 운동량 (canonical momentum)
	역학적 운동량 (mechanical momentum)
	전하
	자기장
	라그랑지안
	해밀토니안

핵심 주의

정준 운동량 는 가 아니다!

자기 포텐셜이 있을 때, 정준 운동량과 역학적 운동량은 다른 물리량이다.

요약

물리량	표현	의미
라그랑지안		운동방정식 재현
정준 운동량		해밀턴 형식의 기본 변수
역학적 운동량		실제 입자 운동량
해밀토니안		순수 운동에너지

출발점: 운동방정식

자기장만 있을 때 () 로렌츠 힘:

이 운동방정식을 재현하는 라그랑지안을 역으로 찾는다.

라그랑지안

속도와 벡터포텐셜의 스칼라곱, 거기에 전하를 곱한 게 에너지가 된다.
보통의 포텐셜에너지는 위치에만 의존하는 함수였다는 점에서 특이하게 다가온다.

항이 있어야 오일러-라그랑주 방정식에서 로렌츠 힘이 나온다. 이건 공리가 아니라 운동방정식으로부터 역으로 구성한 것이다.

검증: 오일러-라그랑주 방정식

따라서:

정준 운동량 (Canonical Momentum)

라그랑지안으로부터 정의:

• : 정준 운동량 — 해밀턴 형식의 기본 변수
• : 역학적 운동량 — 실제 입자의 운동
• : 장(field)이 기여하는 운동량

해밀토니안

르장드르 변환:

이므로, 해밀토니안은 결국 순수한 운동에너지다.

Notes from Claude

• 항의 논리: “라그랑지안이 이래야 한다”가 아니라 “로렌츠 힘을 재현하려면 이래야 한다”는 역방향 논리
• 임을 항상 주의할 것 — 해밀토니안에서 운동량을 쓸 때마다 보정이 필요

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Analytical Mechanics