강의 필기
이것은 Electrodynamics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
오늘의 핵심
학부때 배운 전자기학과 맥스웰 방정식을 간단히 복습한다. Electrostatics, insulators (dielectrics), magnetostatics의 핵심 개념과 방정식들.
Notation 정리
| Symbol | 의미 |
|---|---|
| 거리 벡터의 단위 벡터 | |
| 두 점 사이의 거리 | |
| 진공의 유전율 (permittivity of free space) | |
| 전기장 (electric field) | |
| 스칼라 포텐셜 (scalar potential) | |
| 전하 밀도 (charge density) | |
| 편극 밀도 (polarization density) | |
| 표면 bound charge 밀도 | |
| 부피 bound charge 밀도 | |
| 자유 전하 밀도 | |
| 전기 변위 벡터 (electric displacement) | |
| 자기장 (magnetic field) | |
| 진공의 투자율 (permeability of free space) | |
| 전류 밀도 (current density) | |
| 전하의 속도 |
필기 내용
Electrostatics
Coulomb’s law — test charge
점전하가 여러 개 있으면 index
이 힘은 inverse square law를 따른다. 실험적으로 검증된 규칙.
각 전하에 의한 힘이 독립적으로 작용한다는 게 얼마나 다행인가?
점전하가 아니라 전하밀도를 안다면, summation 대신 integral:
전기장 도입:
Gauss 법칙
적분형:
미분형:
Electrostatic Scalar Potential
정전기학에서
이는
Scalar potential and charge density
이것은 아래 푸아송 방정식의 해이다. 아마도.
왜냐면
Poisson 방정식 (
이 방정식으로
Ideal Conductor
- charge가 내부에서 자유롭게 움직인다.
- charge가 힘이 없어질 때까지 움직여서 평형이 되므로, 내부에서
, 전위는 constant. - charge는 conductor surface에 머무른다.
inside the conductor. - 표면 근처에서
는 표면과 직교한다.
Insulators (Dielectrics)
- 모든 전하가 특정한 원자에 구속되어 있다.
- 외부에서 전기장이 주어지면 polarize된다. 핵은 가만히 있고 전자는 한쪽으로 쏠리므로.
- Polarization
, 전기장과 비례. : polarization density,
Dipole Moment으로부터 Potential 유도
점 dipole의 potential, dipole moment가 이미 거리 성분을 가지고 있기 때문에 포텐셜이
또한 Dipole moment는 벡터이기 때문에 포텐셜또한 방향에 영향을 받음. dipole moment와 떨어진 변위
연속 분포로 확장
이걸 풀어쓰면 polarization density로부터 effective charge를 유도할 수 있다.
이때 적분 식을 변형하기 위해
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_V \vec{P} \cdot \nabla!\left(\frac{1}{R}\right) d\tau
= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_V \nabla \cdot \left(\frac{1}{R}\vec{P}\right) - \frac{1}{R}(\nabla \cdot \vec{P}) , d\tau
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \oint_S \frac{1}{R} \vec{P} \cdot d\vec{a} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_V \frac{1}{R} (\nabla \cdot \vec{P}) , d^3\tau
\sigma_b = \vec{P} \cdot \hat{n}, \qquad \rho_b = -\nabla \cdot \vec{P}
\rho_{effective} = \rho_{free} + \rho_{bound}
\nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho_{free} - \frac{1}{\varepsilon_0} \nabla \cdot \vec{P}
\varepsilon_0 \nabla \cdot \vec{E} + \nabla \cdot \vec{P} = \rho_{free}
\nabla \cdot (\varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}) = \rho_{free}
\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}
\nabla \cdot \vec{D} = \rho_{free}
\vec{P} = \chi_e \varepsilon_0 \vec{E}
\vec{D} = \varepsilon_0 (\vec{E} + \chi_e\vec{E}) = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) \vec{E}= \varepsilon \vec{E}
\varepsilon = \varepsilon_0(1 + \chi_e)
\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})
\vec{F} = Q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})
\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec{I} \times \hat{R}}{R^2} , dl
\frac{d\vec{I}}{da} = \vec{J} = \rho \vec{v}
\vec{I} = \int \vec{J} \cdot d\vec{a}
\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{a} = \int_V \nabla \cdot \vec{J} , d^3v = -\frac{d}{dt} Q_{total} = -\frac{d}{dt} \int_V \rho , d
\nabla \cdot \vec{J} = -\frac{d\rho}{dt}
\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{inner} = \mu_0 \int \vec{J} \cdot d\vec{a}
\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}
\nabla \cdot \vec{B} = 0
\vec{B} = \nabla \times \vec{A}
\nabla^2 \vec{A} = -\mu_0 \vec{J}
\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec{J}}{R} , dR
\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \hat{R}}{R^2}
\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec{M} \times \hat{R}}{R^2} , dR = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{R} (\nabla \times \vec{M}) , dA + \oint \frac{1}{R} (\vec{M} \times d\vec{a}) \right]
\nabla \times \vec{M} \equiv \vec{J}_b \quad (\text{bound current})
\vec{M} \times d\vec{a} \equiv \vec{K}_b \quad (\text{surface bound current})
\vec{J} = \vec{J}_{free} + \vec{J}_b
\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec{B} = \vec{J}_{free} + \nabla \times \vec{M}
\vec{J}_{free} = \nabla \times \left(\frac{1}{\mu_0} \vec{B} - \vec{M}\right)
\vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \vec{B} - \vec{M}
\nabla \times \vec{H} = \vec{J}_{free}
\vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \vec{B} - \chi_m \vec{H} \implies \vec{B} = \mu_0(1+\chi_m)\vec{H} = \mu \vec{H}
E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}
V = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r_1} = \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_2}
\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q_1}{Q_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1}
\frac{E_1}{E_2} = \frac{r_2}{r_1}
\sigma \propto \kappa
\vec{F}_{total} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \int_V \frac{\hat{R}}{R^2} \rho , d