스라소니 머릿속에는

ED lecture note - Faraday, Maxwell Equations, and Potentials

6 min read

강의 필기

이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - electroststics and magnetostatics

오늘의 핵심

패러데이 법칙으로부터 맥스웰 방정식을 완성하고, displacement current를 도입하는 과정.
이어서 전자기장을 포텐셜 , 로 표현하는 방법을 정리한다.

필기 내용

페러데이의 전자기 유도

도체 고리가 자기장 방향으로 닫힌다. 기전력(electromotive force):

전선을 따라 가속이므로. 는 도선을 통하는 magnetic flux.

기전력은 magnetic flux의 time derivative이다.

기전력의 원래 정의는 (단위 전하가, 전기장에 의해 받는 일). 이를 대입:

따라서:

이것이 ③ 패러데이 법칙이다.

맥스웰 방정식의 완성

여기까지 나온 맥스웰 방정식 4개:

네 번째 방정식 (비오-사바르 → 앙페어)에 박스 친 항 는 어디서 나왔는가?

Displacement Current의 도입

는 steady state에서만 유효하다. 왜냐하면:

그런데 이어야 하므로, steady state ()가 아니면 모순이 생긴다.

그런데 이면 어떻게 되나?

연속 방정식 을 이용해서 더 general한 관계식을 만들자:

가 훨씬 더 general한 전류다. 여기서 를 displacement current라고 부른다.

더 general한 앙페어 법칙:

검증: ✓

완전한 맥스웰 방정식 (물질 포함)

그러므로, 전체체 방정식은:

맥스웰, 로렌츠힘, 뉴턴 방정식만 있다면 전하를 띤 물질과 장들의 역학은 설명할 수 있다.

포텐셜 표현

여러 가지 Potential로, 와 . 는 전기장의 스칼라 포텐셜, 는 자기장의 벡터 포텐셜.

B의 포텐셜 표현

가 자기포텐셜을 갖는 건 명확하다:

E의 포텐셜 표현

에 를 대입:

curl이 0이므로, 는 어떤 스칼라의 gradient:

따라서:

☞ 와 를 알면 와 를 알 수 있다.
potentials (scalars/vectors) → vectors.
potential을 사용하는 편이 dimension이 낮다. 와 가 독립적이지 않기 때문.

와 에 대한 방정식으로 남기기

, 에서:

steady state에서

Steady state가 아닐 때.

에서 를 대입:

벡터 항등식 를 적용 (스칼라 라플라시안 vs. 벡터 라플라시안):

궁금한 내용

  • curl이 0이면 gradient로 표현되는 이유 (Helmholtz theorem)?
  • 이 coupling된 방정식에서 게이지 선택 (Coulomb gauge / Lorenz gauge)으로 어떻게 단순화하는가?

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

강의 ppt 링크를 이곳에

다음 강의

ED lecture note - Gauge Transform and Energy Conservation

그래프 뷰

백링크