EM Plane Wave Propagation through Dielectric Layers 기출 풀이
시험 대비
전기역학1 중간고사 대비 기출 문제 풀이.
균질 유전체 다층 구조에서의 평면파 전파, 반사/투과 계수 문제.
관련 강의 노트: ED lecture note - Fresnel Equations
문제 (50 points)
EM plane wave propagation through homogeneous dielectric materials.
The layers are made of nonmagnetic materials to ignore the difference in the magnetic permittivity.
세 층 구조: 굴절률
입사각
참고 (REF): 입사면에 수직인 E field (s-편광)에 대한 단일 경계면 Fresnel 계수:
a) (20 points)
Find the relations for the total reflection and transmission coefficients in terms of single layer expressions of reflection (
풀이:
Total reflection coefficient
2번째 레이어 안에서 무한히 왕복 반사하는 기여를 모두 합산한다.
==Stokes relation
2층 안에서 한 번 더 왕복할 때마다 2→3 경계에서 반사(
등비급수 합산:
Total transmission coefficient
반사 쪽과 같은 공비다!
등비급수 합산:
b) (10 points)
Find out the explicit expression for the phase difference (
Note that the phase difference occurs for the EM plane waves with the travel distance only along the vertical direction in the scattering plane here.
풀이:
여기서
문제에서 위상차는 수직 방향 이동 거리에 대해서만 계산하라고 했다. 이는 비스듬히 입사할 때 수평 방향 위상 변화는 모든 파(입사/반사/투과)에 공통이라 위상 차이에 기여하지 않기 때문이다. (Bragg 회절과는 다른 상황이다 — 그쪽은 다른 면에서 반사된 빛끼리 비교하므로 실제 이동 거리를 쓴.)
따라서 파수의 수직 성분
c) (10 points)
Show that for the thickness difference of
풀이:
두께
따라서:
a)에서 구한
물리적 의미
는 2층 내에서 수직 방향으로 정확히 반파장에 해당한다. 왕복하면 한 파장 차이이므로 위상이 만큼 바뀌어 결국 동일한 간섭 조건을 준다.
d) (10 points)
Find out the general condition for the thickness of the intermediate layer to have the maximum reflectivity, and the resulting reflectivity.
풀이:
a)의 결과를 정리하면
이 식에서
Case 1:
이것은 half-wave 두께 조건이다.
Case 2:
이것은 quarter-wave 두께 조건이다.
일반적 조건:
왜
의 경계값에서 최대인가? — 미분으로 확인
로 두고 ( , , )로 쓰면:
(전반사가 아닌 한 , )이므로, 의 부호는 의 부호와 같다. 즉
는 상수 부호이므로 는 에 대해 단조함수이다. 내부 극값이 존재하지 않으므로, 의 경계에서 최대/최소가 결정된다.
→ 단조증가 → 에서 최대 → 단조감소 → 에서 최대
이 성립하는 이유: Fresnel 계수 에서 분자의 절댓값은 두 양수의 차이고 분모는 합이므로 항상 이다. (전반사 상황에서는 가 순허수가 되어 이 될 수 있지만, 이 문제에서는 3층까지 투과하는 상황이므로 제외.)
최대 반사율:
두 경우 모두
물리적 의미
(e.g. 공기→유리→다이아몬드): 두 경계면에서 모두 위상 반전이 일어나므로, half-wave 두께에서 반사파들이 보강 간섭한다. (e.g. 공기→유리→공기): 한쪽에서만 위상 반전이 일어나므로, quarter-wave 두께에서 반사파들이 보강 간섭한다.