강의 필기
이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
ED lecture note - Stokes Parameters and Reflection
오늘의 핵심
- 맥스웰 방정식의 경계 조건 4가지로부터 Fresnel equations 유도
- 전기장이 입사면에 평행(parallel) 한 경우와 수직(perpendicular) 한 경우를 나눠 처리
- Normal incidence (
)에서 굴절률 차이가 클수록 반사 잘 됨 - Brewster angle: parallel 편광 성분이 반사되지 않는 각도 →
필기 내용
1. 경계 조건과 Maxwell 방정식
이전까지는 반사·굴절에 의한 각도를 공부했다.
이제는 입사·굴절·반사 파의 전기장 세기 관계를 알아보자.
notation
: 입사파 wave vector ( medium) : 굴절파 wave vector ( medium) : 반사파 wave vector ( medium) - 경계면에서 바깥으로 나가는 방향의 법선 벡터:
- 입사파 관련 기호: 프라임 없음 ( )
- 굴절파: 프라임 1개 ( ’ )
- 반사파: 프라임 두 개 ( ” )
간단한 비례관계를 외우자
경계 조건의 출처가 되는 Maxwell 방정식:
Glia의 보충 설명 — 왜 curl 항도 0인가?
이 식은 맥스웰 방정식 자체가 0이라는 뜻이 아니다. 원래 맥스웰 방정식은:
경계 조건을 유도할 때는 경계면에 수직인 아주 얇은 루프에 스토크스 정리를 적용한다:
루프의 높이를 0으로 보내면, 루프가 둘러싸는 면적이 0이 된다.
는 유한한 값이므로 면적분이 사라진다. 도 마찬가지로, 자유 전류 (유전체)이고 도 유한하므로 면적 → 0 극한에서 기여가 사라진다. 즉, **“경계 조건 유도의 극한에서 우변이 사라진다”**는 의미이지, 공간 전체에서 curl이 0이라는 뜻이 아니다.
이를 경계에 적용하면:
- 식 (i)와 (ii):
이 들어가므로 → 와 의 normal component는 continuous 하다. - 식 (iii)와 (iv):
이 들어가므로 → 와 의 tangential component는 continuous 하다.
용어 정리
- normal component: 경계면에 수직 방향.
과 평행. - tangential component: 경계면의 접선 방향.
과 수직.
경계 조건 유도 방법, divergence가 있는 식에 대해 : (i), (ii)
를 이용. 높이가 아주 낮은 원기둥을 잡는다. 옆면의 영향은 무시, 위 아래 뚜껑 면적만 적분한다.
여기서
매질에서는 로 이용 매질에서는 로 이용
경계 조건 유도 방법, curl이 있는 식에 대해 : (iii), (iv)
면의 양쪽에서 tangential한 성분이 같아야 한다. (
좌변은
식 (i) 부터 (iv)까지 모두 반대면 매질의 성분은 음수 기호가 붙는다는 공통점이 있다.
2. 두 가지 편광 상태
두 가지 편광 상태를 생각할 수 있다.
- Electric field is parallel to the plane of incidence
- Electric field is perpendicular to the plane of incidence
Plane of incidence 정의
벡터와 벡터가 있는 면. 즉 그림이 그려져 있는 종이(모니터) 표면이다.
3. Parallel case (E가 입사면에 평행한 경우)
식 (iii)와 (iv)를 적용.
주의
볼드체가 아닌 글자는 스칼라 값. 그리고 부호 영향이 아주 헷갈린다. tangential component가 x축에 대해 음수인지 아닌지를 그림으로 직접 확인하자.
식 (iii)으로부터 →
Snell’s Law 적용. 이것은
따라서:
식 (iv)
→
식 (1), (2)를 연립하면:
이제
반사율도 알아보자.
4. Normal incidence (수직 입사,
만약 빛이 표면에 똑바로 쏘아진다면,
물리적 해석
- 첫 번째·두 번째 매질의 굴절률이 클수록 반사가 잘 된다.
일 경우, 와 의 방향이 같다. 이는 반사되면서 phase reversal이 일어났음을 의미.
5. Perpendicular case (E가 입사면에 수직한 경우)
식 (iii)와 (iv)를 이용하면:
두 번째 식을 정리:
잘 정리하면:
6. Brewster Angle
반사된 빛은 주로 반사 표면에 평행한 방향으로 편광되어 있다.
Incident plane에 평행한 빛은 잘 반사되지 않기 때문이다.
이쪽 편광이 완전히 반사되지 않는 각도를 Brewster angle이라 부른다.
앞서 본 식에서
이것이 그 각도다.
반사율의 각도 의존성
이전에는 반사율이 낮은 상태에서 감소 이후에는 반사율이 급격히 증가 (직관적으로 생각해도, 표면에 비스듬히 빛을 입사할 때 반사가 더 잘 된다. )
궁금한 내용
왜 식 (i)와 (ii)는 유도에 잘 이용하지 않지?
AI의 보충 설명
왜 식 (i)와 (ii)는 Fresnel 유도에 잘 이용하지 않나?
핵심은 식 (i), (ii)가 주는 정보가 (iii), (iv)에 비해 덜 유용하기 때문이다.
식 (i), (ii)는 normal component 조건이다.
- Perpendicular case:
가 경계면에 완전히 평행하므로 . 식 (i)가 이 되어 아무 정보도 주지 않는다. - Parallel case:
의 normal 성분이 존재하긴 하지만, 이를 이용하면 , 등이 얽혀서 결국 (iii), (iv)로 얻는 것과 중복되거나 덜 깔끔한 형태가 나온다. 식 (iii), (iv)는 tangential component 조건이다.
- 두 편광 case 모두에서 tangential 성분은 0이 아니므로, 항상 non-trivial한 조건을 준다.
- 특히 식 (iv)는
를 통해 자연스럽게 와 amplitude의 관계를 연결해주어, 사이의 비율을 바로 얻을 수 있다. 결론: 식 (i), (ii)는 편광 방향에 따라 trivial해지거나 (iii), (iv)와 중복된다. (iii), (iv)는 두 편광 case 모두에서 항상 독립적인 non-trivial 조건을 주기 때문에 Fresnel 유도의 핵심이 된다.
연관 학습 노트
References
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