강의 필기
이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
- 복소 유전율
와 흡수, Drude 모델, 플라즈마 진동수 - 인과율과 D-E 관계식의 response function
오늘의 핵심
- 복소 변수의 기본 개념 (Argand diagram, De Moivre)
- Cauchy-Riemann 조건 → analytic function의 정의
- Cauchy 적분 정리 및 Cauchy 적분 공식
- Cauchy principal value
- Kramers-Kronig 관계식:
의 실수부와 허수부는 서로 독립이 아님 의 유도 (Lorentz 모델, 유수 정리 활용)
Complex Analysis, 수학적 배경
1. 복소 변수 (Complex Variables)
복소수
곱셈의 성질:
De Moivre 공식:
복소 로그함수의 주의점:
그런데
이를 피하기 위해
2. 복소 함수 (Complex Function)
여기서
예시:
3. Cauchy-Riemann 조건, 복소평면에서 부드러운 함수가 되기 위해
경로 ①
경로 ②
두 결과가 같으려면:
이것이 Cauchy-Riemann 조건이다.
Analytic function (해석 함수)
가 및 그 근방에서 미분 가능할 때, 에서 analytic하다고 한다.
Cauchy-Riemann 조건은 analytic function이 되기 위한 필요조건이다.
4. Cauchy 적분 정리 (Cauchy Integral Theorem)
닫힌 경로
Stokes 정리를 적용하면 각 항이 0이 됨을 Cauchy-Riemann 조건으로 보일 수 있다.
결론: 해석적인 복소 함수를 폐경로로 적분하면 0이다
가 단연결 영역에서 analytic하고 단일값이면,
5. Cauchy 적분 공식 (Cauchy Integral Formula)
닫힌 경로
증명 스케치:
자세한 내용: Cauchy Integral Formula
고차 도함수로의 확장:
6. Cauchy Principal Value
실수축 위의 이상 적분에서 특이점
식(16) 보다 값이 1/2 되었음을 알 수 있다. Pole 근처를 원형으로 두른 게 아니라 반원으로 둘러서 그렇다.
따라서:
Hilbert 변환:
본론, 필기 내용
이제 본론!!!
지난 강의에서:
Response function
분모를 인수분해하면:
Pole의 위치:
경로 선택 (유수 정리):
- 경로 I (
): 위쪽 반원(상반 복소 평면)으로 닫는다. Pole이 없으므로 - 경로 II (
): 아래쪽 반원(하반 복소 평면)으로 닫는다. Pole 2개 기여 →
왜 경로를 그렇게 닫나?
극한에서 의 발산을 막아야 한다.
로 쓰면
일 때: (상반 평면)이어야 지수가 억제됨 → 위로 닫기 일 때: (하반 평면)이어야 지수가 억제됨 → 아래로 닫기
일반적 표현 (Heaviside step function
가 붙는 이유
일 때 이면 미래의 E 값이 현재의 D를 결정하는 것 → 인과율(causality) 위반
따라서이어야 하며, 이를 자동으로 보장하는 것이 Heaviside 함수다.
강의에서 강조:
인 것... 왜지?
에서 이므로 자연스럽게 .
→ 수학적으로는 알겠다. 그런데 물리적으로 왜이어야 하나?
핵심 결과:
켤레 대칭성 증명:
따라서
이는
Kramers-Kronig 관계식
짝함수/홀함수 관계를 활용하면
물리적 의미: 허수부(흡수)와 실수부(굴절)는 서로 독립이 아니다. 하나만 측정해도 다른 쪽을 결정할 수 있다.
강의 언급: 로렌츠 이론에서 실수부는
형태 — 공명을 의미한다.
궁금한 내용
- “Advanced Green function”이 뭐지? 필기에서 여백에 메모만 되어 있음
- Response function이 있는 적분 방정식을 미분 방정식으로 나타내는 게 가능한가? (필기 마지막 질문)
- Hilbert 변환과 Kramers-Kronig 관계식의 정확한 연결고리는?
AI의 보충 설명
Glia의 보충 설명 — 복소 해석이 어렵게 느껴지는 이유
복소 해석은 처음엔 “왜 이걸 배우지?”가 명확하지 않아서 어렵다. 핵심 아이디어는 하나다: 함수가 복소 평면에서 미분 가능하면(analytic), 엄청나게 강한 제약을 받는다. 실함수와 달리, 복소 함수가 한 점에서 미분 가능하면 그 근방 전체에서 무한 번 미분 가능하고, 테일러 급수로 표현된다. 이 덕분에 닫힌 경로 적분이 0이 되거나, 내부의 값이 경계 값만으로 결정된다(Cauchy 공식). 전기역학에서는 이 구조가
의 인과율과 직결된다.
Glia의 보충 설명 — 경로 닫기의 직관
유수 정리를 쓰려면 적분 경로를 큰 반원으로 닫아야 한다. 그런데 반드시 그 반원에서의 기여가 0이어야 한다.
에서 가 상반/하반 평면 중 어디에 있는지에 따라 이 지수가 발산하거나 감쇠한다. 그래서 의 부호가 경로의 방향을 결정하는 핵심 변수다. 이것은 물리적으로 **인과율(causality)**과 직결되어 있다.
Glia의 보충 설명 — Kramers-Kronig의 물리적 함의
Kramers-Kronig 관계식은 단순한 수학적 트릭이 아니다. 이것은 선형 인과 시스템이라면 반드시 만족해야 하는 보편적 관계다. 흡수(허수부)가 있으면 굴절률의 주파수 의존성(분산, 실수부)이 반드시 따라온다. 역으로 분산이 있으면 어딘가에 흡수가 있다. 실험적으로 흡수 스펙트럼만 측정해도 굴절률을 계산할 수 있다는 강력한 결론이다.
Glia의 보충 설명 — Kramers-Kronig와 Fluctuation-Dissipation Theorem의 연결
두 정리는 같은 뿌리에서 나온 다른 표현이다. 공통 기반은 **선형 응답 이론(Linear Response Theory)**이다.
외부 perturbation에 대한 반응을 response function
로 쓸 때:
여기서이 causality다. 전기역학의 와 완전히 같은 구조.
Kramers-Kronig Fluctuation-Dissipation 가정 causality만 causality + 열평형 내용 와 사이의 관계 와 자발적 요동 사이의 관계 도구 복소 해석학 통계역학 FDT의 핵심 결과 (classical limit):
여기서는 자기상관함수의 파워 스펙트럼. 흡수가 있는 곳에 반드시 열요동이 있다.
둘을 합치면: 열평형 시스템에서 자발적 요동 →→ KK → 라는 체인이 완성된다.
연관 학습 노트
- ED lecture note - Dispersion
- ED lecture note - Fresnel Equations
- Fluctuation-Dissipation Theorem (통계역학, 추후 연결 예정)
References
- 교수님 handout: ED_7thweek_1_handout_complex_analysis.pdf
- 강의 필기: ED_7thweek_1.pdf
다음 강의
ED lecture note - Radiating Systems
필기 원본
ED_7thweek_1_handout_complex_analysis.pdf
교수님 handout
PHYS503 Compex Analysis.pdf