기호 범례
| 기호 | 의미 |
|---|
| single pole을 가진 복소함수 |
| 모든 에 대해 analytic한 함수 |
| single pole의 위치 |
| 를 내부에 포함한 폐경로 |
| pole을 우회하는 작은 원형 경로 (반지름 ) |
| single pole을 피하는 적분 경로 전체 |
| 와 를 잇는 선분 경로 |
| 의 반지름 |
어떤 복소함수 가 에서 single pole을 가진다면, 이 지점에서 는 analytic하지 않으므로, 를 내부에 포함한 폐경로의 선적분 값은 0이 아니다. 그럼 무슨 값일까?
모든 에 대해 analytic한 함수 를 이용하여, 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이제, 를 구하는 꼼수를 찾아보자.
요점은, 만 피하면 는 analytic하므로, 폐경로의 적분값이 0이라는 점이다.
single pole을 피하는 적분 경로를 이라고 부르자. 그림과 같이, 은 와 , , 로 이루어져 있다.
이때, 과 는 방향만 다른 동일한 경로이므로, 둘의 적분 결과는 서로 상쇄된다.
결국, 이라는 점에 의해,
아직 가 무엇인지 가정하지 않았다. 이것을 적분하기 간편한 경로로 설정하여 값을 구하면 된다.
단, 방향이 시계 방향이어야 한다는 점에 유의.
가 반시계 방향의 경로라면, 는 그 반대 방향으로 돌아야 한다.
를 를 중심으로 두고, 반지름이 인 원형으로 둘 수 있다.
적분 경로 위 점이 일 때, 이것은 반지름 와 원형 경로 위 각도 로 나타낸다.
경로가 시계 방향이므로, 는 에서 시작해 로 끝난다.
의 극한으로 보내어 적분을 계산하면,
결론
괄목할 점은, 내부에 single pole을 똑같이 포함하고만 있다면, 폐경로가 어떻게 생겼든 적분값이 같다는 것이다.
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