Green Function for Wave Equation

기호 범례

기호	의미
	스칼라 포텐셜
	벡터 포텐셜
	달랑베르시안 (d’Alembertian) 연산자
	파수 (wave number),
	소스-관찰자 사이 거리,
	지연 시간,
	지연 그린 함수 (retarded Green function)
	선진 그린 함수 (advanced Green function)
	-공간에서의 그린 함수

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wave equation을 위한 Green’s function

와 에 대한 맥스웰 방정식이 어떻게 생겼는지 상기해 보자.

Lorentz gauge 을 사용.

와 에 대해, 독립적인 wave equation이 나온다.

가끔, wave equation에 나오는 연산자 를
이렇게 하나의 연산자 기호로 □ 네모로 쓰기도 한다.
세모에 이어 네모라니, 뇌절이다.
이때, 는 phase velocity, 여기서는 , 광속이다.

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시간 공간에서 진동수 공간으로 변환해 주는 푸리에 변환을 양 변에 취하면,
귀찮은 시간 미분항이 파수가 된다. .
물리적 차원은 양쪽이 같다.

이러면 방정식이 오로지 공간에 대한 문제가 되면서 풀이가 간편해진다.

파동 방정식 일반식,

에 푸리에 변환을 해보자.
어려워 보이는 항만 먼저 푸리에 변환해 보자.
부분 적분은 두 번 연속 적용해 보면.

시간 2계 미분 연산자가 이 되었다.

따라서 기존의 파동방정식은 이렇게 변환된다.

우리는 이걸 헬름홀츠 방정식이라고 부르기로 한다.

이제 이 방정식의 Green function을 찾아보자.

Green’s function은 로 두었을 때 solution이다.

즉, 각각의 에 대한 solution 를 찾는 것이다. 를 상수 취급하는 것이다.

, 이 소스와 관찰자 사이 변위 벡터일 때,

라플라시안을 왜 이렇게 두는 건지는 모르겠다!

Glia의 보충 설명

이건 구면 대칭을 활용한 트릭이야. 3차원 라플라시안을 구면좌표계로 쓰면 , 항이 포함되는데, 는 점 소스에서의 그린 함수이므로 해가 구면 대칭 — , 의존성이 없어. 각도 항들이 다 0이 되고:

이걸 항등식으로 다르게 쓰면 와 같다. 직접 전개해서 확인하면:

이렇게 쓰는 진짜 이유는, 로 치환하면 식 (12)가 단순한 1D 조화진동자 ODE로 바뀌기 때문이야:

해가 바로 — 이게 핵심 트릭.

일 때, 우변은 0이다.

간단한 미분 방정식이며, 아래와 같이 일반식을 쓸 수 있다.

극한:

Exponential 내부가 음수인 것과 양수인 것, 두 가지 해를 구별해서 적어보자면,

이 둘의 물리적 기능은 완전 상반된다.

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헬름홀츠 방정식의 양 변에 를 곱해준다 → 왜 이렇게 하는 건지 논리를 이해 못 하겠다!

헬름홀츠 방정식 양변에 를 곱하는 이유

필기 당시 이 논리를 이해하지 못했다고 메모되어 있음. 왜 를 곱하면 -space의 파동 방정식으로 돌아오는지?

Glia의 보충 설명

목표를 먼저 생각하자. 우리가 원하는 건 식 (17), 즉 시공간 파동 방정식의 그린 함수 방정식이야:

오른쪽에 가 필요한데, 이걸 푸리에 표현으로 쓰면:

는 의 역 푸리에 변환이야. 그러니까 를 헬름홀츠 방정식 양변에 곱하고 를 취하면:

• 좌변: 이므로 역변환할 때 로 복원됨. 은 영향 받지 않으므로 그대로.
• 우변:

한 줄 요약: 를 곱하는 건 를 오른쪽에 만들어내기 위한 장치야. 역 푸리에 변환이 를 만들어주고, 동시에 항이 시간 2계 미분으로 복원되면서 원래 파동 방정식의 그린 함수 방정식이 나오는 구조야.

이걸 다시 -space에서 -space로 역 푸리에 변환.

이때, 는 의 역 푸리에 변환이다. 일 때,

상수를 푸리에 변환하면 exponential 내부를 0으로 만드는 조건으로 디랙 델타가 나온다는 것을 이미 알고 있다.

이때, 이므로,
인 경우 이고, 인 경우 일 때
디랙 델타가 무한대가 되는 지점이 있다.

는 소스에서 신호가 나온 시점과 그것을 관찰자가 감지한 시점까지의 지연을 나타낸다.
인과율을 생각하면, 인 게 자연스럽다.
이면 신호가 생성되기도 전에 감지한 것이므로, 미래를 예견했다는 의미이다.

따라서 와 는 다른 별명을 가지고 있다.

• : retarded green function.

  • 에서 일어난 관찰은 앞선 시점 에서 만큼 떨어진 거리에서 일어난 신호를 감지한 것이다.

• : advanced Green function.

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Green function을 이용하여 general solution 를 구하면 이렇다.

retarded green’s function만 사용한 경우,

시간에 대해 적분하며 가 대입된다.

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연관 학습 노트

• 포텐셜을 이용한 맥스웰 방정식
• Wave Equation from Maxwell Equations
• Poisson_Equation_for_Dirac_Delta_and_Point_Charge_Potential
• ED lecture note - Radiating Systems
• ED lecture note - Electric Dipole Radiation

Reference

전기역학 handout
Greenfunction_derivation.pdf