강의 필기
이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
ED lecture note - Scattering and Diffraction
오늘의 핵심
- Kirchhoff approximation의 수학적 비일관성과 remedy (Dirichlet/Neumann B.C.)
- Infinite plane screen에서의 Green 함수 구성 (mirror image trick)
- Huygens-Fresnel 원리: 회절 무늬 = 구멍에서의 파동을 구면파로 적분
- Fresnel approximation: 관측점이 멀 때 → 2차 근사 → 푸리에 변환 구조
- Fraunhofer approximation: 더 멀어지면 → 회절 무늬 = 구멍 모양의 순수 푸리에 변환
- Babinet’s principle: 두 complementary 장애물의 회절 무늬는 위상만 반대
필기 내용
Kirchhoff Integral Formula (복습)
지난 시간 유도한 Kirchhoff integral formula:
Far-field 근사 후:
Kirchhoff Approximation
Kirchhoff approximation은 두 가지 경계조건 가정으로 이루어진다.
1st:
2nd: opening(aperture) 위에서의
수학적 비일관성 (Mathematical Inconsistency)
만약
→ remedy (왜 이렇게 remedy 하는 건지 모르겠다.)
Remedy: Proper Choice of Green’s Function
① Dirichlet B.C.
이 boundary condition의 물리적 의미는?
Glia의 보충 설명 — Dirichlet B.C.의 물리적 의미와 remedy의 핵심
물리적 의미:
on 는 스크린 위에서 파동장이 완전히 0, 즉 스크린이 완전 흡수체처럼 행동한다는 가정이다. Mirror image trick으로 을 구성하면, 평면에서 이므로 두 항이 자동으로 상쇄되어 이 만족된다. 전자기학의 도체 평면 위 image charge 방법과 완전히 같은 논리다. remedy의 핵심: 원래 Kirchhoff의 문제는
에 두 조건을 동시에 부과한다는 것이었다.
헬름홀츠 방정식에서 이 둘을 같은 경계에 동시에 주면 과결정(overdetermined)이 되어 해가 항등적으로 0이 된다.Dirichlet Green 함수 trick은 그 중 “스크린 위에서 0”이라는 조건을
에 미리 흡수시켜버리는 것이다. Green의 제2항등식
에서on 를 대입하면 두 번째 항 이 자동으로 소거된다. 에는 아무 B.C.도 강제로 부과하지 않아도 되고, 을 지정할 필요도 없어진다. Neumann도 마찬가지로
on 를 에 부과하면, 이번엔 첫 번째 항 이 소멸하고 만으로 해가 결정된다. 한 줄 요약:
에 두 조건을 동시에 강요하는 대신, 한 조건을 에 떠넘겨서 에 가해지는 부담을 반으로 줄이는 꼼수다.
② Neumann B.C.
Infinite Plane Screen & Huygens-Fresnel Principle
스크린이 무한 평면일 때, Green 함수를 mirror image trick으로 구성한다.
여기서:
왜 이런 mirror image를 만들지? 적분 범위에서
아닌가?
Glia의 보충 설명 — Mirror image trick의 목적
맞다. 적분은
평면 위에서만 이루어진다. Mirror image point 는 적분 변수가 아니라, on 라는 조건을 자동으로 만족시키기 위해 Green 함수를 설계하는 도구다. 핵심 논리는 이렇다:
- 우리에게 필요한 건
평면 위에서 인 Green 함수다. - 자유공간 Green 함수
는 이 조건을 만족하지 않는다. - 그런데
에서 이 되도록 mirror point를 잡으면, 가 에서 자동으로 0이 된다. 즉, mirror image는 ”
평면 밖의 가상의 점”을 이용해서 경계조건을 교묘하게 구현하는 수학적 장치다. 전자기학에서 도체 평면 위의 점전하를 다룰 때 도체 아래쪽에 image charge를 놓는 것과 완전히 같은 발상이다 — image charge도 실제 적분 영역(도체 위) 밖에 있지만, 경계조건을 만족시키기 위해 도입한다.
편미분 관계:
→ 여기서부터 잘못 되었군
(
개별 항의 gradient:
따라서:
구하는 건 내가 했는데, 뭘 잘못 풀었나? 어떻게 해야 아래 식이 나옴?
Glia의 보충 설명 — Jackson 10.85 유도: 내 풀이의 두 가지 오류
핵심은
전체를 구하려 했다는 것이 실수다. 실제로 적분에 필요한 건 평면 위에서의 뿐이다. 오류 1:
의 방향
이므로:
따라서:
여기서이다. 내 풀이에서 로 쓴 것은 틀렸다. 은 원점에서 source point까지의 벡터이고, 은 source → observation point 방향이다. 오류 2:
에서 와 의 부호 두 편미분을 각각 계산하면:
Mirror image 때문에
의 편미분은 부호가 반대가 된다. 그리고 에서 이다. 올바른 계산:
평면에서 이므로, 에 대입하면 Jackson 10.85가 나온다. 한 줄 요약:
에서 이지만 와 의 부호가 반대라서 두 항이 더해져 2배가 되고, 이것이 Jackson 10.85의 (= 의 2배 × )의 유래다.
최종 결과 (Jackson 10.85):
Jackson 10.79와 비교하면: 피적분함수
Far-field 근사: Huygens-Fresnel Equation
Huygens-Fresnel Equation:
여기서
는 phase delay를 의미한다.
왜 구멍을 통과하면서 반의 반파장 느려지지?
Glia의 메모
물리적 직관이 존재하지 않는 문제에 가깝다.
는 Green 함수 유도 과정에서 수학적으로 자연스럽게 등장하는 결과이며, 이에 대한 깔끔한 물리적 설명은 없다.
또한:
Fresnel Approximation
aperture plane의 좌표를
Fresnel approximation: 구멍 크기에 비해
따라서:
이를 대입하면:
전개하면:
여기서 마지막 적분은
where
: aperture에서의 incident field : Gaussian distribution — 구멍 중심일수록, incident wave가 그대로 반영
Fraunhofer Approximation
또는
이 조건에서는
즉, 회절 무늬는 스크린의 구멍 모양이 푸리에 변환된 것!
상수를 푸리에 변환하면 디랙델타가 나온다. 이걸 지금 상황에 대입하면?
Glia의 메모
Fraunhofer 조건은
인데, (aperture가 무한히 큼)이면 어떤 유한한 에서도 이 조건이 성립하지 않는다. 즉 상수 aperture function은 애초에 Fraunhofer 근사의 적용 범위 밖이므로, 라는 수학적 결과를 물리적으로 해석하려는 시도 자체가 문제일 수 있다. 참고로 올바른 물리는: 스크린 없음 → 평면파 직진 → 관측면 균일하게 밝음.
함수(한 점에 집중)와 정반대다. 단, 이 설명도 Glia가 확신하지 못한다. 추후 교수님께 확인 필요.
Babinet’s Principle
두 complementary 장애물
수학적으로,
따라서:
→ 두 complementary 장애물의 회절 무늬는 amplitude가 같고 위상이 반대.
Inverse Problem
이론상, 회절 무늬를 역푸리에 변환하면 장애물의 모양을 알 수 있으나,
측정할 수 있는 것은 intensity 뿐이고, phase의 정보가 없어서 IFT가 불가하다.
이 문제를 해결하기 위해 여러가지 꼼수를 쓴다.
나는 작년 학부 정량생물학 강의에서 이 꼼수를 들었던 것 같다.
궁금한 내용
- Kirchhoff approximation의 수학적 비일관성을 어떻게 remedy 하는지 - 왜 Dirichlet/Neumann B.C.로 Green 함수를 선택하면 해결되나?
- Infinite plane screen에서 mirror image
를 왜 만드는가? 적분 범위가 인데 왜 인 점을 mirror로 잡나? - Dirichlet B.C.
for on 의 물리적 의미는? - Jackson 10.85가 어떻게 유도되는지 —
계산 과정에서 뭔가 놓쳤다. - 왜 구멍을 통과하면서 반파장(phase delay
)이 생기는가? - 상수 aperture function을 푸리에 변환하면 디랙 델타가 나온다 — 이걸 Fraunhofer 회절에 대입하면 어떤 물리적 의미가 되는가?
AI의 보충 설명
연관 학습 노트
References
Jackson Classical Electrodynamics, Chapter 10 (10.75, 10.79, 10.85)
다음 강의
ED lecture note - Circular Aperture Diffraction and Optical Theorem