ED lecture note - Scattering and Diffraction

강의 필기

이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Electric Quadrupole Radiation

오늘의 핵심

• 지난 시간 마무리
  Oscillating spheroidal charge distribution의 quadrupole moment tensor와 복사 패턴 .

• Ch. 10 Scattering의 세 가지 regime
  (multipole), (multipole fields), (semi-geometrical).

• Rayleigh Scattering
  긴 파장에서 induced dipole이 산란파를 만듦.
  — 하늘이 파란 이유!

• Scattering by a Small Dielectric Sphere

• Scattering by a Small Perfectly Conducting Sphere
  electric + magnetic dipole 기여가 함께 나타남. .

• Polarization of Perfectly Conducting Sphere**
  에서 parallel component가 사라지지 않음 (magnetic dipole 기여 때문에 유전구와 다름).

• ==Collection of Scatterers==: 이게 XRD다!
  structure factor 로 간섭 효과 정리.

• 1D Structure Factor
  — Bragg condition, long wavelength 극한.

(10th week-2 추가)

• 부호 재정의: . 입사각 = 산란각 이면 , Bragg 법칙: .

• Coherent vs Incoherent: coherent일 때 peak , incoherent(각 domain 독립)일 때 peak .

• Scalar Diffraction Theory: Diffraction = wave의 lateral extent confinement에 의해 발생.

• Kirchhoff’s Method: Helmholtz 방정식 + Green’s theorem → Kirchhoff 적분 공식.
  
  Kirchhoff Approximation: 벽으로 막힌 곳에서 , 열린 곳에서 .

필기 내용

지난 시간 마무리 - Electric Quadrupole Radiation: Oscillating Spheroidal Charge

Quadrupole moment tensor는 이렇게 생겼다:

왜 이렇게 생겼나? 이 되어야 하는 이유는 무엇인가?

Quadrupole moment vector:

이때 를 계산해야 한다.

따라서:

따라서:

복사 패턴이 축을 중심으로 4엽 클로버 모양이 나온다.

---

Chapter 10. Scattering and Diffraction

산란을 만드는 target과 입사파의 scale 차이에 따라 접근이 달라진다:

• : simple description in terms of lowest order induced multipoles
• : systematic treatment with multipole fields
• : semi-geometrical approach

---

1. Scattering at Long Wavelength

A. 작은 dipole에 의한 Scattering

입사된 전자기장에 의해, multipole이 진동한다.

• Induced electric/magnetic multipole이 입사 파와 definite phase relationship을 가지며 oscillating한다.
• 이 oscillating induced multipole 자체가 radiation을 만든다.

Description via plane monochromatic wave

주변 medium의 와 는 1이라고 두자.
가 입사파의 polarization 방향이고,
가 입사파의 진행 방향 unit vector일 때, 전자기장은:

산란된 전자기파는 아래와 같은 식을 가진다.
(: 산란파의 편광 방향, : 산란파의 진행 방향, : induced dipole moment, : magnetic dipole moment):

Differential scattering cross-section 정의:
산란파와 입사파의 진행 방향 (, ), 그리고 각자의 편광 방향(, )
을 변수로 받는다.

은 solid angle 때문에 그냥 붙은 것.
의미: The power radiated in the direction with polarization , per unit angle, per unit incident flux in the direction with polarization .

를 전개하면:

는 산란파의 편광이므로 → .

따라서 (Jackson 10.4) Rayleigh Scattering 공식:

---

B. 작은 Dielectric Sphere의 산란

Target이 dielectric constant 인 작은 구. Electric dipole moment는 이렇게 형성된다 ():

Magnetic dipole moment는 없다.

이것을 공식에 대입하면:

편광 평균

나는 교수님이 이 부분을 설명하실 때 납득하지 않았다.
따라서 모든 편광 각도의 입사파에 대해 평균을 낸다는 교과서의 논리를 따라간다.
를 설정하여 적분으로 평균을 계산하는 과정은 교과서에서 해 주지 않는다. 내가 직접 함.

Scattering plane은 과 가 올라가 있는 면이다. 보통 incident wave는 편광되어 있지 않기에, 에서 를 모든 편광에 대해 평균낸다.

Scattering plane을 - 평면으로 잡는다. 가 축과 평행, 가 축과 이루는 각도가 일 때:

에 대해 평균낸다는 것이 곧 모든 방향에 평균낸다는 의미.

각 성분에 대한 differential scattering cross section:

Perpendicular component는 angle dependence가 없다.
에서는 parallel component가 사라진다 → 순수 편광.

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작은 완전 도체구의 산란 (Scattering by a Small Perfectly Conducting Sphere)

완전 도체구에서는 electric dipole moment와 magnetic dipole moment가 둘 다 유도된다.

이를 대입하면:

를 이용,

각 편광 성분에 대해 에 대해 평균낸다.

벡터 관계:

Parallel component 에 대해:

Perpendicular component 에 대해:

편광도 (Polarization)

와 의 세기를 비교하여 에 따른 편광도를 정의할 수 있다.
성분의 세기가 성분의 세기에 비해 얼마나 강한가?

이 경우:

Electric dipole은 항에서 알 수 있듯 산란파에 편광이 직접 드러난다.
그러나 magnetization에서는 항에서 알 수 있듯, 편광 특성이 한번 꼬아서(?) 나타난다.

---

2. Collection of Scatterers

일정 간격으로 떨어져 있는 여러 개의 산란자가 있다. 첫 번째 입자로부터 번째 입자로 향하는 번위 벡터를 라고 두자.

입사파에 대한 경로 차이:
산란파에 대한 경로 차이:
(부호 주의! 그림에서 과 가 이루는 각도를 유심히 볼 것)

총 위상차:

으로 정의하면, 위상차 =

모든 산란자에 대한 differential cross section:

모든 입자에서 와 이 다 똑같다면?

여기서 오른쪽의 summation term을 Structure Factor라고 부른다:

1D Structure Factor

등비급수에서 마지막 sin 꼴로의 변환은 어떻게?

로 놓으면

따라서 .

분자 변환: 로 같은 계산을 하면 .

결합:

3D Structure Factor

총 산란자 개수:

Short Wavelength Case: Bragg Condition

Long Wavelength Case

로 근사:

• → → (L = 전체 크기)

Intensity graph
주기적인 강한 peak → 분모가 0이 될 때. 이때가 Bragg condition
근처 작은 골짜기 → 분자가 0이 될 때.

왜 peak 세기가 이라고 하는 것인가?
모든 산란자의 위상이 맞을 때 amplitude가 배가 되므로 intensity = amplitude² → .
가 작을 때 sin을 1차 테일러 근사.

---

3. Collection of Scatterers (이어서) — Coherent vs Incoherent

q의 부호 정의 재확인

입사각과 산란각을 모두 로 같게 두면:

따라서 스칼라 는:

Bragg Condition 재정리

1D structure factor:

가 최대가 되는 조건 (Bragg condition):

를 대입하면:

이것이 바로 Bragg’s Law!

Peak에서 intensity: 극한에서 sin을 선형 근사하면:

---

Coherent vs Incoherent State

지금까지 본 peak intensity 이 나오는 식은 모든 산란자가 같은 phase를 지닌 평면파에 입사된다고 가정함 (coherent incident wave).

그러나 산란자에 쪼이는 빛의 phase가 공간에 따라 달라지면:

이때 는 번째 incident wave를 맞는 입자수.

이때 이므로, 항상 이다.

결론: Coherent한 빛을 쪼일 때 intensity가 제일 강해진다.

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4. Scalar Diffraction Theory

Diffraction의 정의

Sommerfeld가 정의한 Diffraction:

Deviation of light rays from rectilinear path, which cannot be interpreted from reflection or refraction.

교수님은 이 정의가 마음에 안 든다고 하셨다.

교수님 선호 정의:

Diffraction is caused by the confinement of lateral extent of the wave.

Confinement가 wavelength와 견줄 만한 스케일이거나 그보다 작으면 효과가 있다.

---

5. Kirchhoff’s Method

Scalar diffraction theory의 핵심 수학적 도구.

설정

• Scalar field 를 다룸
• closed volume 내부에서:

• Helmholtz 방정식의 Green 함수 :

Green’s Theorem 우회로

유도 과정:

로 놓으면:

로 놓으면:

Gauss’s theorem으로:

따라서 Green’s theorem이 성립한다.

Kirchhoff 적분 공식 유도

, 를 대입:

Green’s theorem을 적용하면:

Green 함수 계산

는 구면파다: ,

을 대입, :

Kirchhoff 적분 공식 (Jackson 10.79)

닫힌 적분면을 (개구면)과 (무한히 먼 면)으로 나눌 때, 의 기여는 0이 된다.

즉, 에서 와 의 값을 알아야 한다.
Usually values are not known.

Kirchhoff Approximation:

• 벽으로 막힌 데에서는 와 값이 0이다.
• 벽이 없는 곳에서는 incident field 값과 같다.
  → 수학적으로 불안정한 approximation.

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• ED lecture note - Electric Quadrupole Radiation
• ED lecture note - Electric Dipole Radiation

References

Jackson, Classical Electrodynamics, Chapter 10 (식 10.4, 10.5)
Jackson, Chapter 2.14 (완전 도체구 electric dipole)
Jackson, Chapter 5.11 (완전 도체구 magnetic dipole)

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