강의 필기
이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
ED lecture note - Magnetic Dipole Radiation
오늘의 핵심
- Electric quadrupole radiation은 multipole expansion의 1차 대칭 항에서 나온다.
- Quadrupole moment tensor:
- 복사 파워:
— dipole ( )과 다름! 라고 정의한다. 텐서를 축약 해서 벡터로 만든다. 을 이용한 compact한 표현으로 H-field가 결정된다.
필기 내용
Symmetric Part: Electric Quadrupole의 기여
맨 처음에 버려 뒀던
를 계산해 보자. Electric dipole에서 했던 것 같이,
아래 풀이가 무슨 논리인지 지금은 모르겠다! 잘못 쓴 부분도 있을 수 있다!
여기까지는 인정! 그런데,
이건 어찌 유도된 결과?
양변의 총 벡터가
index라 하고, 을 이용해 index를 합했나?
Jackson 9.38: Electric Quadrupole의 Vector Potential
이 적분을 식 9.30에 넣어 정리하면:
Far Zone에서의 H-field: ∇ → ikn̂
이제
H-field가 이렇게 되는 건 쉽게 계산할 수 있다.
이제 quadrupole moment tensor로 유도할 것이다. 이 내용 아주 중요할 것 같다! 왜냐면 교수님이 중요하다고 했으니까. 적분 항을 계산하자.
Quadrupole Moment Tensor로의 변환
좌변의
여기서
이게 quadrupole moment의 일부분이다.
Quadrupole Moment Tensor 정의
Quadrupole Moment Vector Q(n̂)
두 번째 항에서
다! 끝났다!
최종 결과: Jackson 9.44
궁금한 내용
근거? Far zone에서
를 쓸 때, 로 두는 근거는?
에서 극한에서 이 되는 것인가?
Glia의 보충 설명
Far zone에서 모든 장은
꼴을 가진다. 이걸 실제로 미분하면:
Far zone (
)에서는 이므로 항이 죽고:
즉 이건 근사나 치환이 아니라,
꼴 함수에 실제로 미분을 적용했을 때 far zone에서 자연스럽게 나오는 결과이다. 이므로 결국 이 된다.
Symmetric part 유도 마지막 단계
이 단계에서, index를 이용한 구체적인 유도 과정?
Glia의 보충 설명
좌변의
번째 성분을 index로 쓰면:
여기에 필기에서 증명한 결과를 사용한다:
대입하면:
벡터 표현으로 되돌리면:
핵심 트릭:
을 index 로 내려서 를 적분 밖으로 반고, 이미 증명된 결과를 그대로 사용하면 자연스럽게 나온다. 으로 묶이는 것이 마지막 포인트.
AI의 보충 설명
연관 학습 노트
- ED lecture note - Magnetic Dipole Radiation
- ED lecture note - Electric Dipole Radiation
- ED lecture note - Radiating Systems
References
Jackson, Classical Electrodynamics, Chapter 9 (식 9.30, 9.38, 9.39, 9.40, 9.44)
다음 강의
ED lecture note - Scattering and Diffraction
필기 원본
ED week 8-1 remaster (p.4–6)